Компле́ксный ме́тод ВКБ для одноме́рных лине́йных зада́ч на компле́ксной пло́скости, аналог метода ВКБ для решения уравнений на функции одного комплексного аргумента. В отличие от стандартного метода ВКБ, не обобщается непосредственно на функции многих переменных, но зато даёт асимптотики не со степенной, а с экспоненциальной точностью.

1. Введение

Квазиклассические асимптотики решений обыкновенных дифференциальных уравнений, например уравнения Шрёдингера

$$-h^2\frac{d^2\psi}{dz^2}(z)+v(z)\psi(z)=E\psi(z) \tag{1.1}$$с малым $h$, описываются с помощью классического метода ВКБ (Вентцеля, Крамерса и Бриллюэна). Этим методом решено огромное количество задач. О нём можно прочитать, например, в книге М. В. Федорюка (Федорюк. 1983), ставшей настольной для занимающихся асимптотическими исследованиями решений обыкновенных дифференциальных уравнений. В случае когда коэффициенты уравнения голоморфны, возможности метода существенно расширяются, появляется целая система новых идей, новых аналитических и геометрических объектов. Можно сказать, что выделяется отдельный мощный метод квазиклассического асимптотического анализа, нацеленный на изучение решений уравнения на комплексной плоскости. Ему и его применениям посвящена богатая литература (см., например, книги Хединг. 1965; Sibuya. 1975. Гл. 10; Федорюк. 1983. Гл. 3; Wasow. 1987. Гл. 7; Славянов. 1990. Гл. 2, $\S$ 2 и ссылки к ним). Этот метод естественно называть комплексным методом ВКБ. [Комплексным методом ВКБ называют ещё и подход к исследованию решений (нелинейных) уравнений в частных производных в $\R^n$ (Маслов. 1977). Изучаемые им решения локализованы около некоторых кривых и поверхностей, а локализация связана комплексными фазами в асимптотике решений.] Он позволяет, например, асимптотически описывать связи между решениями, фиксированными своим поведением около особых точек уравнения (конечных или бесконечных), исследовать спектр оператора, соответствующего (1.1) с комплексным потенциалом $v$. Даже когда задача не требует выхода в комплексную плоскость (такие задачи приходят, например, из спектральной теории самосопряжённых операторов), комплексный метод ВКБ используется для упрощения анализа: он позволяет обойти особенности решения, расположенные на вещественной оси, вычислить вронскианы решений в областях, где они легко вычисляются, и т. д. Комплексный метод ВКБ оказывается незаменим для вычисления экспоненциально малых величин. Классическими примерами являются вычисление длин экспоненциально малых лакун в спектре оператора, определяемого левой частью (1.1) с периодическим $v$, и вычисление асимптотики экспоненциально малого коэффициента отражения в задаче о надбарьерном отражении. В разделе 2.8.3 мы подробнее обсуждаем основные задачи, решённые комплексным методом ВКБ, и приводим литературные ссылки.

В серии работ (Буслаев. 1994; Федотов. 2015; 2017; Fedotov. 2019; 2021; Fedotov. Difference equations ... 2022; Федотов. 2021; Fedotov. Semiclassical asymptotics ... 2022) комплексный метод ВКБ был обобщён на разностные уравнения на комплексной плоскости, например на разностные уравнения Шрёдингера

$$\psi(z+h)+\psi(z-h)+ v(z)\psi(z)=E\psi(z), \quad z\in\mathbb C,\quad h\to 0, \tag{1.2}$$и более общие уравнения вида

$$\Phi(z+h)=M(z) \Psi(z),\quad z\in\mathbb C, \tag{1.3}$$где $M$ – матрица-функция $2\times 2$. Заметим, что входящий в эти уравнения малый параметр $h$ опять оказывается стандартным квазиклассическим параметром (например, с точки зрения квазиклассических ПДО). Наблюдение, что $h$ в (1.2) является квазиклассическим параметром, по-видимому, первым сделал В. П. Маслов. Такие уравнения с аналитическими или мероморфными коэффициентами и малым $h$ возникают во многих областях математики и физики.

Если $\psi$ – решение (1.2), то с помощью формулы $\phi_k=\psi(kh)$ строится решение уравнения

$$\phi_{k+1}+\phi_{k-1}+v(kh)\phi_k=E\psi_k, \quad k\in \mathbb Z. \tag{1.4}$$Если $h$ мало, то коэффициент $v(kh+\theta)$ в (1.4) медленно зависит от $k$.

Разностные уравнения (1.2) и (1.4) с малым $h$ возникают в квантовой физике, например, при исследовании в различных асимптотических режимах электрона в плоском кристалле в постоянном ортогональном ему магнитном поле (см., например, Wilkinson. 1984; Guillement. 1989). Электрон описывается магнитным оператором Шрёдингера с периодическим электрическим потенциалом, и, например, в квазиклассическом приближении анализ этого оператора сводится к анализу $h$-псевдодифференциального оператора с символом $H(x,p)=2\cos p+2\cos x$ (см., например, Helffer. 1988. Разд. 9.4 и C. 106). Его (обобщённые) собственные функции удовлетворяют (1.2) с $v(z)=2 \cos z$. При этом число $h$ пропорционально магнитному потоку, проходящему через ячейку периодичности. В случае сильного постоянного магнитного поля опять возникает (1.2), а параметр $h$ оказывается обратно пропорциональным величине магнитного потока (Guillement. 1989).

Уравнения вида (1.3) возникают, в частности, при изучении дифракции классических волн на узких клиньях, конусах и подобных областях методом Зоммерфельда – Малюженца [Babich. 2008. Уравнение (10.13), Lyalinov. 2003. Уравнение (2.1.2)]. Они появляются и в теории двухчастотных квазипериодических уравнений, когда одна из частот мала по сравнению со второй (Fedotov. 2002. Разд. 4.2, 4.4).

Отметим, что квазиклассические конструкции используются при получении асимптотик ортогональных многочленов по номеру (Асимптотики типа Планшереля – Ротаха ... 2022) и комплексный метод ВКБ может применяться в родственных несамосопряжённых задачах.

Глубокому обобщению комплексного метода и его применениям посвящена серия статей (Fedotov. 2002; 2001; Fedotov. On the singular spectrum ... 2004; Fedotov. Geometric tools ... 2004; Fedotov. On the absolutely continuous spectrum ... 2005; Fedotov. Strong resonant tunneling ... 2005; Fedotov. 2006) (см. также ссылки к ним), в которой рассматривались уравнения Шрёдингера

$$-\frac{d^2\psi}{dx^2}+v(x)\psi+w(\varepsilon x+\zeta)\psi=E\psi, \tag{1.5}$$где $x$ – вещественная переменная, $v\in L^2_{\rm loc} (\mathbb R)$ – $1$-периодическая функция, $w$ – аналитическая функция, а $E$, $h$ и $\zeta$ – параметры: $E$ – спектральный параметр, $\varepsilon$ – малый параметр. В случае уравнения (1.5) говорят об адиабатическом возмущении периодического уравнения Шрёдингера. Уравнения вида (1.5) возникают в самых разных задачах, где есть медленное регулярное возмущение периодической структуры, в частности при описании электрона в кристалле во внешнем электрическом поле (Буслаев. 1987; Buslaev. 1998), или в задачах астрофизики, где такие уравнения могут моделировать периодические движения, возмущённые присутствием массивных объектов (Avron. 1981).

Оказалось, что для исследования асимптотик решений (1.5) на вещественной оси $x$ достаточно исследовать решения на компакте по $x$ при всех вещественных $\zeta$. Далее выяснилось, что для контроля экспоненциально малых эффектов и использования всех остальных возможностей, которые даёт обычный комплексный метод ВКБ, надо изучать решения уравнения (1.5) на компакте по $x$ и комплексных $\zeta$. Подход был с успехом применён для решения известных задач из теории почти периодических операторов.

В этом обзоре мы обсудим как комплексный метод ВКБ для обыкновенных дифференциальных уравнений и разностных уравнений на комплексной плоскости, так и его обобщение для исследования адиабатических возмущений одномерного периодического уравнения Шрёдингера. Все три подхода объединяются родственными аналитическими идеями и геометрическими конструкциями.

Каждому их трёх вариантов метода посвящён отдельный большой раздел. В каждом из них мы подробно обсуждаем существование решений со стандартным асимптотическим поведением на канонических областях (областях комплексной плоскости, выделенных определёнными условиями), устройство канонических областей и поведение решений за их пределами. После этого более кратко обсуждаются другие результаты (например, асимптотики в окрестности особых точек и точек поворота). В конце каждого из трёх разделов приводятся исторические комментарии, где кратко описываются история развития подхода и важные работы по тематике.

Случай дифференциальных уравнений, наиболее хорошо изученный и описанный в литературе, обсуждается достаточно коротко. Относительно подробно мы остановимся лишь на случае уравнения Шрёдингера (1.1). Для заинтересованного читателя приводятся подходящие литературные ссылки.

Обсуждая разностные уравнения, мы подробно описываем все известные результаты (которые, собственно, ограничиваются исследованием решений уравнений Шрёдингера и систем из двух уравнений первого порядка).

В настоящем обзоре мы стараемся изложить подходы к исследованию описанных трёх классов задач с единой позиции, что, конечно, влияет на наше изложение и для уравнения (1.1). В частности, во всех трёх случаях канонические области определяются в терминах канонических кривых (путей). Поэтому для дифференциальных уравнений канонической областью оказывается максимальная область, где решение сохраняет стандартное асимптотическое поведение.

2. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Мы начнём с определения аналитических и геометрических объектов – комплексного импульса, канонических кривых (путей) и канонических областей, в терминах которых формулируется теорема о существовании решений, имеющих стандартное асимптотическое поведение на заданной канонической области. Затем мы наметим два подхода к её доказательству: подход, который допускает обобщение на случай уравнений (1.2) и (1.5), и подход, более эффективный для дифференциальных уравнений. При этом мы обсудим устройство канонических областей и асимптотики матриц перехода, связывающих решения, имеющие стандартное асимптотическое поведение на разных областях. Завершим мы этот раздел краткими комментариями о других результатах и замечаниями об истории комплексного метода ВКБ.

2.1. Комплексный импульс и стандартное асимптотическое поведение

2.1.1. Комплексный импульс

Комплексный импульс $p$ – основной аналитический объект комплексного метода ВКБ. Для уравнения (1.1) он определяется соотношением

$$p(z)^2+v(z)=E,\quad z\in\mathbb C,$$т. е. символом уравнения. Комплексный импульс – двухзначная аналитическая функция, его точки ветвления удовлетворяют уравнению

$$v(z)=E. \tag{2.1}$$Отметим, что не все решения (2.1) являются точками ветвления. Все точки, в которых выполнено (2.1), называют точками поворота.

Если $v'(z)\ne 0$ в точке поворота $z=\zeta_0$, то её называют простой. Около простой точки поворота импульс является аналитической функцией локальной переменной $\tau=\sqrt{z-\zeta_0}$, и

$$p(z)=p_1\sqrt{z-\zeta_0}+ o(z-\zeta_0), \quad z\to \zeta_0, \tag{2.2}$$

где $p_1\ne 0$.

Будем называть множество $D\subset \mathbb C$ регулярным, если оно находится в области определения потенциала – коэффициента $v$ из (1.1) – и не содержит точек поворота.

2.1.2. Стандартное асимптотическое поведение

Задача комплексного метода ВКБ состоит в построении решений, имеющих стандартное асимптотическое поведение на некоторых областях комплексной плоскости, и в описании их поведения за пределами этих областей. Здесь мы определим термин «стандартное асимптотическое поведение».

Фиксируем $E=E_0$. Пусть $D$ – регулярная односвязная область, a $p$ – ветвь комплексного импульса, аналитическая в $D$. Фиксируем ветвь функции $z\mapsto \sqrt[4]{p(z)}$, аналитическую в $D$. При исследовании решений уравнения Шрёдингера (1.1) удобно использовать следующее определение.

Определение 1. В области $D_0\subset D$ решение $\psi$ уравнения (1.1) имеет стандартное поведение$$\psi(z)\sim \dfrac1{\sqrt{p(z)}}\, e^{\frac{i}{h}\int_{z_0}^z p(\zeta)\,d\zeta}, \tag{2.3}$$где $z_0\in D_0$, если для достаточно малого $h$:

$\bullet$ имеется такая окрестность $U_0\subset \mathbb C$ точки $E_0$, что $\psi$ аналитично и удовлетворяет (1.1) при $(z,E)\in D_0\times U_0$;

$\bullet$ для любого $\delta>0$ имеется такая окрестность $U\subset U_0$ точки $E_0$, что при $E$ в $U$ и $z$ в области $D$ вне $\delta$-окрестности её границы решение $\psi$ допускает представление

$$\psi(z)=\frac1{\sqrt{p(z)}}\,e^{\frac{i}h \int_{z_0}^z p(z)\, dz+O(h)} \tag{2.4}$$c равномерной по $(z, E)$ оценкой погрешности.

Это определение родственно определению 3.1 из (Fedotov. Geometric tools ... 2004).

Замечание 2.1. Из оценок Коши для производных аналитических функций следует, что производная конечного порядка по $z$ и $E$ поправочного члена в (2.4) сама допускает оценку $O(h)$, локально равномерную по $z$ и равномерную $E$ в окрестности $E_0$, возможно меньшей, чем $U$.

2.2. Канонические кривые (пути) и области

Опишем геометрические объекты, необходимые для формулировки теоремы о существовании решений со стандартным поведением.

Ниже $K$ – односвязная регулярная область, $p$ – ветвь комплексного импульса, однозначная и аналитическая в $K$, а $z_1$ – регулярная точка на $\partial K$ – границе $K$.

Кусочно непрерывно дифференцируемую кривую, соединяющую в $K$ точку $z\in K$ c $z_1$, называют канонической кривой (путём) относительно ветви $p$, если функция

$$z\mapsto \operatorname{Im} \int_{z_0}^z p(z)\,dz, \quad z\in K, \tag{2.5}$$где $z_0\in K$ – фиксированная точка, не убывает вдоль этой кривой в направлении от $z$ к $z_1$. Такую кривую мы обозначаем через $\gamma(z,z_1|p)$. Заметим, что выбор точки $z_0$ не играет роли.

Если производная функции (2.5) вдоль $\gamma(z,z_1|p)$ в направлении от $z$ к $z_1$ больше некоторого положительного числа, то эта кривая называется строго канонической (в точках разрывов производной и на концах кривой имеются в виду односторонние производные).

Мы будем называть область $K$ канонической (строго канонической) областью относительно пары $p$ и $z_1$, если любая её точка $z$ может быть соединена в $K$ с точкой $z_1$, канонической (соответственно строго канонической) кривой $\gamma(z,z_1|p)$.

Понятие строго канонической кривой очень удобно тем, что свойство такой кривой быть (строго) канонической не теряется при её возмущениях, малых в топологии $C^1$, и при малых изменениях $E$. Понятия же канонической и строго канонической области очень близки, и на практике канонические области часто оказываются сильно каноническими.

2.3. Построение решений со стандартным поведением на ограниченной канонической области

Далеко не для всех задач необходимо исследовать поведение решений на всей комплексной плоскости, где поведение потенциала может быть весьма сложным. Далее, бесконечные канонические области не всегда существуют. Наконец, обсуждение случая неограниченных областей зависит от поведения на бесконечности потенциала – коэффициента $v$ из уравнения Шрёдингерa (1.1). В этом разделе мы обсудим построение решений со стандартным поведением на ограниченных канонических областях.

2.3.1. Основная теорема для ограниченных областей

Здесь будет доказана следующая теорема.

Теорема 2.1. Фиксируем $E=E_0$. Пусть $K$ – ограниченная область, строго каноническая относительно пары $p$ и $z_1$. Тогда существует решение $\psi$ уравнения (1.1), имеющее в $K$ стандартное поведение (2.3).

Подход, использованный для доказательства этой теоремы, универсален. Его можно использовать в случае бесконечных канонических областей, но при этом его реализация зависит от поведения $v$ на бесконечности. В работе (Федорюк. 1983. $\S$ 5, гл. 5) он используется для асимптотического исследования систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка с квазиклассическим параметром. Он также допускает обобщение на случай уравнений (1.2) и (1.5). Так как доказательство теоремы 2.1 достаточно простое, а используемый для доказательства подход универсален, мы изложим доказательство подробно.

Доказательство теоремы естественно разбивается на несколько шагов.

1. Переход к системе уравнений первого порядка. Уравнение (1.1) эквивалентно уравнению

$$-i h\Psi'(z)=M(z) \Psi(z),\quad M(z)=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ E-v(z) & 0 \end{pmatrix},\quad z\in \mathbb C \tag{2.6}$$для вектор-функции $\Psi:\mathbb C\mapsto \mathbb{C}^2$. Легко видеть (и хорошо известно), что $\Psi$ удовлетворяет (2.6) тогда и только тогда, когда её первая компонента удовлетворяет (1.1).

2. Приближённая диагонализация матрицы системы. Нетрудно видеть, что собственные значения $M(z)$ равны $\pm p(z)$. Очевидно, в регулярной области они отличны друг от друга. Поэтому матрица $M(z)$ приводится к диагональному виду при $z\in K$, и оказывается, что$$\begin{gathered}V^{-1}(z)M(z) V(z)=D(z),\\ \text{где }\, V(z)=\begin{pmatrix} 1& 1\\ p(z) & -p(z)\end{pmatrix}, \quad D(z)=\begin{pmatrix} p(z)& 0\\ 0 & -p(z)\end{pmatrix}. \end{gathered}$$Вектор-функция, определённая формулой

$$\Phi(z)=V^{-1}(z)\Psi(z),$$удовлетворяет в $K$ уравнению

$$-i h \Phi'= \Big (D+ih V^{-1}V'\Big)\Phi. \tag{2.7}$$Нетрудно видеть, что $V^{-1}V'=\frac{(\ln p)'}{2}\, {\begin{pmatrix} 1& -1\\ -1 & \ 1\end{pmatrix}}$, и мы получаем

$$i h \Phi'+D_1\Phi=ih\frac{(\ln p)'}{2}\sigma_1\,\Phi, \tag{2.8}$$где

$$D_1= {\begin{pmatrix} p(z)+ \frac{ih}2 (\ln p)' & 0\\ 0 & -p(z)+ \frac{ih}2 (\ln p)'\end{pmatrix}},\quad \sigma_1= {\begin{pmatrix} 0& 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}}.$$3. Интегральное уравнение. Чтобы перейти от уравнения (2.8) к интегральному, мы сконструируем его решение как решение линейного неоднородного уравнения, считая правую часть известной. Пусть $z_0\in K$ и$$\begin{gathered} \Phi(z)=F(z)\chi(z), \ \ F(z)=\frac1{\sqrt{p(z)}}\,{ \begin{pmatrix} e^{\frac{i}h\theta(z_0, z)} & 0\\ 0 & e^{-\frac{i}h \theta(z_0, z)}\end{pmatrix}},\\ \theta(z_0,z)=\frac{i}h\int\limits_{z_0}^{z} p\,dz. \end{gathered}$$Легко видеть, что $i h F'+D_1 F=0$, и поэтому $\chi$ удовлетворяет уравнению

$$\chi'(z)=\frac{(\ln p)'(z)}2 { \begin{pmatrix} 0 & e^{-\frac{2i}h\theta(z_0, z)} \\ e^{\frac{2i}h\theta(z_0, z)}&0\end{pmatrix}}\;\chi(z). \tag{2.9}$$Пусть $\chi(z)=\Big(\begin{matrix}\chi_1(z) \\ \chi_2(z)\end{matrix}\Big)$, a $z_1\in\partial K$ – точка из определения канонической области $K$. Одно из решений (2.9) можно построить, решив систему интегральных уравнений:

$$\begin{split} \chi_1&(z)= 1+ \frac12\int_{z_1}^z e^{-\frac{2i}h\theta(z_0, z')} \chi_2(z')\,d\ln p(z'), \\ &\chi_2(z)= \frac12\int_{z_1}^z e^{\frac{2i}h\theta(z_0, z')} \chi_1(z')\,d\ln p(z'). \end{split} \tag{2.10}$$4. Интегральные операторы. Пусть $z_*\in K$. Из определения строго канонической кривой следует, что существуют такие число $c_0>0$ и окрестности $U$ точки $E_0$ и $V$ кривой $\gamma(z_*, z_1|p)\setminus\{z_0\}$, что для каждого $E\in U$ и $z\in V$ в $V$ имеется такая каноническая кривая $\gamma(z, z_1|p)$, что производная от функции (2.5) вдоль неё в направлении от $z$ к $z_1$ больше $c_0$.

Построим решение (2.10), аналитическое по $(z,E)\in V\times U$. Для этого введём операторы $\mathcal L_1$ и $\mathcal K_1$, действующие в пространстве функций, аналитических в $V\times U$, снабжённом нормой$\|g\|=\sup_{(z,E)\in V\times U}\big|g(z,E)\big|$ по формулам

$$\mathcal L_1g\,(z)= \frac12\, \int_{z_1}^z g(z')\,d\ln p(z'), \quad \mathcal K_1g\,(z)=e^{ -\frac{2i}h\theta(z_1, z)}\,L_1\, \left(e^{ \frac{2i}h\theta(z_1,\cdot)}\,g\right)\,(z),$$где интегрирование ведётся вдоль кривых в $K$. Компонентами решения $\chi$ являются функции, удовлетворяющие соотношениям:

$$\chi_1=1+\mathcal L_1\,\mathcal K_1\,\chi_1, \quad \chi_2=e^{\frac{2i}h\theta(z_0, \cdot )}\; \mathcal K_1\,\chi_1. \tag{2.11}$$Для оценки норм операторов выберем в определении $\mathcal L_1$ и $\theta(z_1, z)$ в качестве контура интегрирования каноническую кривую $\gamma(z,z_1|p)$, описанную в начале четвёртого шага доказательства. Ограниченность оператора $\mathcal L_1$ очевидна. Оценим норму $\mathcal K_1$. Пусть $s(z)$ – длина $\gamma(z,z_1|p)$ от $z_1$ до $z$, а $M= \max_{(z,E)\in V\times U} |(\ln p)'(z)|$. Из определения $U$, $V$ и постоянной $c_0$ следует

$$\|\mathcal K_1 g\|\le \frac{M}2 \max_{z\in V}\int_{0}^{s(z)} e^{-\frac{2c_0 s}h}\,ds\le \frac{Mh}{4c_0}.$$

5. Построение решения. При достаточно малых $h$ существует единственное решение уравнения для $\chi_1$, аналитическое по $(z,E)\in V\times U$. Восстанавливая по нему $\chi_2$ [см. (2.11)], мы построим решение $\chi$ дифференциального уравнения (2.9). Из аналитической теории дифференциальных уравнений на комплексной плоскости следует, что $\chi$ аналитично и удовлетворяет (2.9) при всех $(z, E)\in K\times U$. Восстанавливая по $\chi$ первую компоненту вектор-функции $\Psi$ – решение (1.1), мы видим, что в $K\times U$ оно аналитично и допускает представление (2.4) с равномерной оценкой погрешности.

Проведённый анализ можно провести для любой новой точки $z_*\in K$ вместо старой. Очевидно, «старая» функция $\chi_1$ удовлетворяет «новому» уравнению (2.9). А поскольку при малых $h$ его решение единственно, то представление (2.4) для $\psi$ остаётся справедливым и в новой области $V\times U$. Отсюда вытекает, что при $E=E_0$ решение $\psi$ имеет в $K$ стандартное асимптотическое поведение (2.3).

Замечание 2.2. При доказательстве теоремы можно матрицу системы (2.6) привести к диагональному виду c большей точностью и получить вместо уравнения (2.7) уравнение с матрицей диагональной с точностью до $O(h^2)$. Для этого следует использовать метод из работы Федорюка (Федорюк. 1983. П. 4, $\S$ 5, гл. 5). В результате для $\chi_1$ вместо уравнения из (2.11) получится уравнение, в котором перед интегральным оператором появится малый параметр $h$. Это позволит доказать существование решения $\psi$, допускающего асимптотическое представление (2.4) с равномерной по $z$ оценкой погрешности в случае, когда $K$ является канонической областью (а не строго канонической областью).

2.3.2. Базис из решений со стандартным поведением

Фиксируем $E=E_0$. Пусть $K$ – односвязная регулярная область, а $p$ – ветвь импульса, аналитическая на $K$. Из теоремы 2.1 мгновенно вытекает следующее следствие.

Следствие 2.1. Предположим, что на $\partial K$ есть такие две регулярные точки $z_1$ и $z_2$, что для любой точки $z\in K$ найдётся строго каноническая кривая $\gamma(z_2,z_1|p)$, соединяющая $z_1$ и $z_2$ в $K$ и содержащая $z$. Тогда существуют решения $\psi^\pm$ уравнения (1.1), имеющие в $K$ стандартное поведение

$$\psi^\pm(z)\sim \frac1{\sqrt{p(z)}}\, e^{\pm \frac{i}{h}\int_{z_0}^z p(\zeta)\,d\zeta}, \tag{2.12}$$где $z_0\in K$.

Для доказательства следствия достаточно заметить, что точка $z\in \gamma(z_2,z_1|p)$ разбивает

$\gamma(z_2,z_1|p)$ на кривую $\gamma(z,z_1|p)$, каноническую относительно ветви $p$, и кривую $\gamma(z,z_2|-p)$, каноническую относительно $-p$. $\square$

Легко видеть, что вронскиан решений $\psi^\pm$ описывается формулой

$$-ihW(\psi^+,\psi^-)=2+O(h),\quad z\in K. \tag{2.13}$$Оценка погрешности получается с помощью замечания 2.1. Она равномерна по $E$ в $U$ – некоторой не зависящей от $h$ окрестности $E_0$. Таким образом, при достаточно малом $h$ для $E\in U$ решения $\psi^\pm$ образуют базис в пространстве решений (1.1).

2.4. Решения со стандартным асимптотическим поведением на неограниченных канонических областях

Для исследования асимптотик решений (1.1) на неограниченных областях используют подход, использующий специфические свойства уравнения (1.1) и основанный на замене переменных вида $z\mapsto \zeta=\int_{z_0}^z p(z)\,dz$. Хотя полная его теория развита лишь в случае, когда потенциал $v$ – коэффициент из (1.1) – является полиномом или целой функцией, удовлетворяющей определённым условиям, многие результаты, полученные в случае полинома, переносятся на случай целой функции, а сам подход успешно применяется и для исследования мероморфных $v$.

Ниже мы будем ориентироваться на случай, когда потенциал $v$ является полиномом, а все точки поворота являются простыми.

Сначала мы опишем устройство некоторых неограниченных канонических областей. Потом мы опишем построение решений со стандартной асимптотикой на такой заданной канонической области и обсудим свойства построенных решений. В нашем изложении мы в основном будем следовать (Славянов. 1990. Гл. 2, $\S$ 2) и (Федорюк. 1983. Гл. 3, $\S$ 3), где заинтересованный читатель найдёт дополнительную информацию и примеры.

2.4.1. Линии Стокса

Для того чтобы описать канонические области, мы сначала обсудим линии Стокса – линии, из которых состоит естественная граница канонической области. Описанные результаты и много дополнительной информации читатель найдёт в работе (Федорюк. 1983. П. 1, $\S$ 1, гл. 3).

Пусть $\zeta_0$ – точка поворота. Будем называть линией Стокса максимальную связную компоненту линии уровня многозначной аналитической функции $z\mapsto \operatorname{Im}\int_{\zeta_0}^z p(z)\,dz$, начинающуюся в $\zeta_0$ и не содержащую точек поворота. Здесь и ниже мы интегрируем вдоль линии Стокса ветвь импульса, непрерывную на ней. Очевидно, что линии Стокса не зависят от выбора ветви $p$ на линии уровня (т. к. имеется всего две аналитические ветви, отличающиеся знаком).

Определённые нами линии Стокса называются линиями Стокса в книге (Федорюк. 1983) и сопряжёнными линиями Стокса в работах (Славянов. 1990) и (Хединг. 1965).

Вдоль линии Стокса функция $z\mapsto \operatorname{Re}\int_{\zeta_0}^z p(z)\,dz$ монотонна, и экспонента $e^{\frac{i}h\int_{\zeta_0}^zp\,dz}$ из стандартной асимптотики осциллирует, оставаясь по модулю равной единице.

В простой точке поворота $\zeta_0$ начинаются три линии Стокса, а углы между любыми двумя из них в этой точке равны $2\pi/3$.

Линии Стокса являются аналитическими кривыми. Линия Стокса не имеет самопересечений. Она либо заканчивается в точке поворота, отличной от $\zeta_0$, либо уходит на бесконечность.

Вне точек поворота две линии Стокса либо не пересекаются, либо совпадают (между точками поворота, являющимися их концами).

Объединение всех линий Стокса и точек поворота называется графом Стокса, а его связные компоненты – комплексами Стокса.

На рис. 1 схематично изображены линии Стокса (непрерывные линии) для случаев, когда $v(z)=z$, а $E=0$ (левая часть рисунка), когда $v(z)=z^2$, а $E=1$ (средняя часть рисунка), и когда $v(z)=-z^2$, а $E=-1$ (правая часть рисунка).

Рис. 1. Примеры линий Стокса.Рис. 1. Примеры линий Стокса.Пусть $V$ – достаточно малая окрестность простой точки поворота $\zeta_0$. Разрежем её вдоль линии Стокса $\sigma$, начинающейся в $\zeta_0$. Полученное множество $V'$ – регулярно. Фиксируем в $V'$ аналитическую ветвь импульса $p$ и рассмотрим в $V'$ функцию $z\mapsto \zeta=i S(z)$, $S(z)=\int_{\zeta_0}^zp\,dz$. Линии Стокса разбивают $V'$ на три сектора. Легко проверяется следующая лемма.

Лемма 2.1. На линиях Стокса $\operatorname{Re}\zeta=0$, а внутри секторов $\operatorname{Re} \zeta\ne 0$. В секторах, примыкающих к $\sigma$, $\operatorname{Re} \zeta$ принимает значения одного знака, в оставшемся секторе – значения другого знака.

2.4.2. Области типа полуплоскости и типа полосы

Здесь мы следуем работе (Федорюк. 1983. П. 3, $\S$ 1, гл. 3). Пусть $v$ – полином. Линии Стокса разбивают всю комплексную плоскость на регулярные односвязные области. Пусть $D$ – одна из них. Фиксируем аналитическую в $D$ ветвь $p$ комплексного импульса и точку $z_0\in D$. Обсудим образ $D$ при отображении $S: z\mapsto \zeta=i S(z)$, $S(z)=\int_{z_0}^z p\,dz$. Функция $iS$ биективно отображает $D$ на свой образ. Возможны только два случая.

1. Образ оказывается полуплоскостью с границей, параллельной мнимой оси. В этом случае $D$ называется областью типа полуплоскости.

2. Образ оказывается полосой вида $\{z\in\mathbb C: a<\operatorname{Re} \zeta <b\}$, где $a<b$ – некоторые числа. В этом случае $D$ называется областью типа полосы.

В обоих случаях граница области $D$ состоит из линий Стокса, имеющих общие концы – точки поворота.

На рис. 1 мы обозначили буквой $H$ области типа полуплоскости и буквой $S$ – область типа полосы.

2.4.3. Специальные канонические области

Пусть $K$ – односвязная регулярная область. Фиксируем на ней аналитическую ветвь $p$, непрерывную вплоть до границы $K$.

Предположим, что граница $K$ состоит из линий Стокса и точек поворота – их концов. Область $K$ может быть, например, областью типа полуплоскости, областью типа полосы или объединением таких областей и некоторых общих участков их границ.

Пусть $z,z_0\in K$. Функция $iS: z\mapsto i\int_{z_0}^z p\,dz$ отображает конечные линии Стокса на отрезки прямых, параллельные мнимой оси, а бесконечные – на полупрямые, параллельные мнимой оси.

Может случиться так, что $iS$ биективно отображает $K$ на комплексную плоскость с конечным числом разрезов, параллельных $i\mathbb R$. При этом граница каждого разреза – образ линий Стокса с общими концами – точками поворота. При этом начала разрезов – образы точек поворота. Справедлива следующая теорема.

Теорема 2.2. Обозначим через $z(\pm\infty)$ бесконечно удалённые точки, к которым стремится $z\in K$ при стремлении $iS(z)\in iS(K)$ к $\pm\infty$. Область $K$ является канонической относительно пар $\pm p$ и $z(\pm\infty)$.

Доказательство. Будем обозначать точки на области $iS(K)$ буквой $\zeta$. Утверждение теоремы следует из того, что для любой точки $\zeta_0\in iS(K)$ на $iS(K)$ можно найти кривую, идущую из $-\infty$ (из $+\infty$) к $\zeta_0$ так, что вдоль неё $\operatorname{Re} \zeta$ не убывает (соответственно не возрастает). Опуская детали, отметим, что прообразом такой кривой является кривая, каноническая относительно пары $p$ и $z(-\infty)$ [соответственно пары $-p$ и $z(+\infty)$]. $\square$

Обсуждаемые в теореме канонические области $K$ мы будем называть специальными.

В терминах отображения $iS$ легко описать и подобласти специальных канонических областей, являющихся строго каноническими областями.

2.4.4. Построение специальной канонической области

1. Общий способ построения канонической области. Пусть $D_0$ – область типа полуплоскости. В общем случае её граница состоит из двух бесконечных линий Стокса, конечного числа конечных линий Стокса и точек поворота – общих концов всех этих линий Стокса. Пусть $\zeta_0$ – одна из этих точек поворота. Фиксируем в $D_0$ аналитическую ветвь квазиимпульса $p$ так, чтобы в $D_0$ функция $S:z\mapsto \zeta=i\int_{\zeta_0}^zp\,dz$ имела отрицательную вещественную часть. При таком выборе $p$ функция $S$ отображает $D_0$ на полуплоскость $\operatorname{Re} \zeta<0$, а её границу – на мнимую ось.

Пусть $\sigma_0$ – одна из линий Стокса, образующих границу $D_0$, а при пересечении $\sigma_0$ точка $z$ попадает из $D_0$ в регулярную область $D_1$, ограниченную линиями Стокса. Продолжим $p$ и $S$ аналитически в $D_1$ через $\sigma_0$. Область $D_1$ оказывается областью либо типа полуплоскости, либо типа полосы. Так как $S'(z)=p(z)\ne 0$ на $\sigma_0$, то функция $iS$ отображает $D_1$ либо на полуплоскость $\operatorname{Re} \zeta>0$, либо на полосу $0<\operatorname{Re} \zeta<c_1$, где $c_1$ – некоторое положительное число.

Если $D_1$ – область типа полуплоскости, то $D_0\cup\sigma_0\cup D_1$ – специальная каноническая область. Если $D_1$ – область типа полосы, то $D_0\cup\sigma_0\cup D_1$ – только часть специальной канонической области, которую мы можем построить.

Граница $D_1$ состоит из двух односвязных компонент. Связная компонента её границы, не содержащая $\sigma_0$, состоит из двух бесконечных линий Стокса, конечного числа конечных линий Стокса и точек поворота. Мы выбираем одну из этих линий Стокса.

Обозначаем её через $\sigma_1$ и продолжаем линию тем же способом, что и после выбора $\sigma_0$.

2. Примеры. Три специальные канонические области схематически изображены в верхней части рис. 2 для $v(z)=z$ и $E=0$ (слева), для $v(z)=z^2$ и $E=1$ (посередине) и для $v(z)=-z^2$ и $E=-1$ (справа). Ниже изображены образы этих областей при отображении $iS$.

Рис. 2. Канонические области и их образы.Рис. 2. Канонические области и их образы.

2.4.5. Построение решений со стандартным асимптотическим поведением

В этом разделе по модулю обозначений мы следуем работе (Славянов. 1990. П. 2, $\S$ 3, гл. 2).

Фиксируем $E=E_0$. Пусть $K$ – специальная каноническая область, $z_0\in K$, а $p$ – ветвь импульса, относительно которой $K$ является канонической областью, Фиксируем на $K$ аналитическую ветвь функции

$z\mapsto \sqrt{p(z)}$. Только эта ветвь будет использоваться ниже.

Для построения решений со стандартным асимптотическим поведением на $K$ к уравнению (1.1) применяют теорему Лиувилля, т. е. выполняют замену переменной $z$ и неизвестной функции $\psi$ – решения (1.1) согласно формулам

$$\psi(z)=\frac1{\sqrt{p(z)}}\; w(\zeta),\quad \zeta=iS(z)=i\int_{z_0}^zp\,dz,\quad z\in K,$$где $z_0\in K$ – фиксированная точка. Новая переменная $\zeta$ принадлежит $iS(K)$. Функция $\psi$ оказывается решением (1.1) на $K$, если $w$ удовлетворяет уравнению

$$-h^2w''(\zeta)+w(\zeta)=h^2 q(z(\zeta))\; w(\zeta), \quad q=\frac12 \frac{p''}{p^3}-\frac{3}{4} \frac{(p')^2}{p^4}. \tag{2.14}$$Если $v$ – полином, то $q$ удовлетворяет оценке (локально равномерной по $E$)

$$q(z(\zeta))=O\Big(\frac1{\zeta^{3/2}}\Big), \quad |\zeta|\to\infty. \ \tag{2.15}$$В $iS(K)$ можно построить решения $w^\pm$ уравнения (2.14), убывающие при $\operatorname{Re} \zeta\to\pm \infty$. Они строятся в виде

$$w^\pm(\zeta)=e^{\mp\frac\zeta{h} } u^\pm (\zeta),$$где $u^\pm$ – решения уравнений

$$u^{\pm}(\zeta)=1\pm\frac{h}2\;\int_{\pm\infty}^\zeta \Big(e^{\pm\frac{2(\zeta-\zeta')}h}-1\Big)\, q(\zeta')u^\pm(\zeta')\,d\zeta', \tag{2.16}$$где мы интегрируем по кривым в $iS(K)$, уходящим на бесконечность вдоль вещественной оси.

Фиксируем достаточно малое $\delta>0$, удалим из $iS(K)$ $\delta$-окрестности вертикальных разрезов и рассмотрим (2.16) как уравнение на линейном пространстве функций, аналитических

в полученной области, снабжённом стандартной равномерной нормой.

Так как можно считать, что интегрирование ведётся по кривым, вдоль которых $\operatorname{Re} \zeta'$ меняется монотонно (образам канонических кривых при отображении $iS$ !), то в силу оценки (2.15) норма соответствующего интегрального оператора оказывается ограничена в некоторой окрестности $E_0$.

Приведённый анализ ведёт к следующей теореме.

Теорема 2.3. Фиксируем $E=E_0$. Пусть $K$ – специальная каноническая область. При достаточно малом $h$ существуют решения $\psi^\pm$ уравнения (1.1), имеющие в $K$ стандартное асимптотическое поведение (2.12). При этом поправочный член в соответствующих асимптотических представлениях для $\psi^\pm$ убывает при $z\to \infty$, если $\operatorname{Re} \zeta \to\pm\infty$.

2.4.6. Свойства построенных решений

Здесь мы перечислим очевидные следствия из конструкции решений $\psi^\pm$. Аналогичные

утверждения имеются в работах (Федорюк. 1983. $\S$ 3, гл. 3) и (Славянов. 1990. $\S$ 2, гл. 2).

Фиксируем $E=E_0$ и будем считать, что $K=K(E)$ – специальная каноническая область. Будут описываться свойства сразу двух решений $\psi^\pm$.

1. Полное асимптотическое разложение. Итерируя уравнение (2.16) и выполняя в полученных интегралах интегрирование по частям, легко показать, что при $h\to 0$ решения $\psi^\pm$ имеют асимптотики:

$$\psi^{\pm}(z)\sim \frac1{\sqrt{p(z)}}\; e^{\pm \frac{i}h\,\int_{z_0}^z p\,dz}\left(1+\sum_{k=1}^\infty h^kA_k^{\pm}(z)\right),\quad z\in K, \tag{2.17}$$где коэффициенты $A_k^\pm$ не зависят от $h$. В (Славянов. 1990. П. 2, $\S$ 2, гл. 2) выписаны оценки: $A_k^\pm=O\big(1/\zeta^k\big)$ при $\operatorname{Re} \zeta=\operatorname{Re} (iS(z,z_0))\to \pm\infty$.

2. Зависимость от $z$ и $E$. Пусть $V_0$ – окрестность $E_0$. Из конструкции решений $w^\pm$ уравнения (2.14) следует, что имеется такое $X>0$, что $w^\pm$ аналитичны по $(\zeta,E)\in \{\operatorname{Re} \zeta<-X\}\times V_0$. Отсюда и из общей теории дифференциальных уравнений вытекает, что $\psi^\pm$ являются целыми функциями $(z,E)$.

3. Область значений параметра $E$, при которых решения имеют стандартные асимптотики. Предположим, что граница $K(E_0)$ состоит из пар бесконечных линий Стокса, начинающихся в простых точках поворота. Нетрудно видеть, что, если это предположение сохраняется для всех $E$, принадлежащих компактной кривой $\gamma$, начинающейся в $E_0$, то для всех $E\in\gamma$ решения $\psi^\pm$ имеют стандартное асимптотическое поведение в $K(E)$.

4. Производные по $z$ и $E$. Для вычисления производных по $z$ и $E$ решений $\psi^\pm$ удобно заготовить оценки для поправочных членов в их стандартных асимптотических представлениях [представлениях вида (2.4)]. Напомним, для любого компакта $k\subset K(E_0)$ имеется такая не зависящая от $h$ окрестность $V$ точки $E_0$, что поправочные члены допускают равномерную оценку $O(h)$ при $(z, E)\in k\times V$. Отсюда и из оценок Коши для производных аналитических функций следует, что любая конечная производная поправочного члена по $z$ и $E$ допускает такую же оценку при $(z,E)\in k\times \tilde V$, где $\tilde V\subset V$ – окрестность $z_0$. При этом равномерности по порядку производной, конечно, нет. Аналогично получается утверждение об убывании производных поправочных членов в асимптотическом представлении для $\psi^\pm$ при $z\to \infty$ в области, где $\operatorname{Re}\zeta=\operatorname{Re} (iS(z,z_0))\to \pm \infty$.

5. Линейная независимость. Легко показать, что для вронскиана решений $\psi^\pm$ справедлива формула (2.13). При этом, как и раньше, оценка погрешности равномерна по $E$ в $U$ – некоторой не зависящей от $h$ окрестности $E_0$. Таким образом, при достаточно малом $h$ для $E\in U$ решения $\psi^\pm$ образуют базис в пространстве решений (1.1).

6. Единственность. Решения $\psi^\pm$ однозначно определяются своим асимптотическим поведением при $z\to\infty$ в областях, где $\operatorname{Re} \zeta=\operatorname{Re} \big(iS(z,z_0)\big) \to\pm \infty$ (т. е. областях, где $\psi^\pm$ убывают). Отметим, что условие убывания $\psi^\pm$ в этих областях выделяет их однозначно с точностью постоянных множителей, а последние определены старшим членом асимптотики, поскольку в этих областях при $z\to\infty$ убывают и поправочные члены в стандартных асимптотических представлениях для $\psi^\pm$.

2.5. Максимальные области, где решения имеют стандартное асимптотическое поведение

Фиксируем $E=E_0$. Пусть $K$ – специальная каноническая область, $z_0\in K$, a $\psi$ – решение, имеющее на $K$ стандартное асимптотическое поведение (2.3). Решение $\psi$ может сохранять это поведение на регулярных односвязных областях, содержащих $K$. Здесь мы опишем построение максимальной из таких областей. Как мы увидим, она сама является канонической.

Будет рассматриваться случай общего положения, когда все точки поворота простые. В основном мы будем следовать работе Федорюка (Федорюк. 1983. П. 2.3, $\S$ 3, гл. 3).

1. Предположим сначала, что нет конечных линий Стокса (соединяющих точки поворота). Покажем, что в этом случае $\psi$ сохраняет стандартное асимптотическое поведение на всей комплексной плоскости вне разрезов вдоль некоторых линий Стокса. Начнём с описания такой области. Будем обозначать её через $K_M$.

В одной из областей типа полуплоскости $\psi\to 0$ при $z\to\infty$, если $\operatorname{Re}\zeta\to \infty$. Обозначим её через $D_1$.

Рис. 3. К построению максимальной канонической области.Рис. 3. К построению максимальной канонической области.Граница $D_1$ состоит из двух линий Стокса $l_1$ и $l_2$ и точки поворота $z_1$, являющейся их общим началом. Из $z_1$ выходит ещё одна линия Стокса $l_3$. Сделаем вдоль неё разрез. Если $v$ – полином первого порядка, то область $K_M$ – комплексная плоскость с описанным разрезом. Если нет, то $D_1$ граничит с областью $D_2$ типа полосы (см. рис. 3), граница которой состоит из двух связных компонент. Одна из них состоит из точки $z_1$ и двух линий Стокса, начинающихся в ней (либо линий $l_1$ и $l_3$, либо линий $l_2$ и $l_3$). Вторая – из линий Стокса $l_4$ и $l_5$ и точки поворота $z_2$, являющейся их общим началом. Из $z_2$ выходит ещё одна линия Стокса $l_6$. Мы проведём второй разрез вдоль неё. Если $\deg v=2$, то $K_M$ – комплексная плоскость с двумя описанными разрезами. В противном случае мы продолжим нашу процедуру. На каждом шаге разрез проводится вдоль линии Стокса, которая не принадлежит очередной присоединяемой области. В итоге и получается $K_M$. Это регулярная односвязная область, содержащая $K$. Продолжим в неё аналитически ветви $p$ и $\sqrt{p}$ из (2.3). Справедлива следующая теорема.

Теорема 2.4. Решение $\psi$ сохраняет стандартное асимптотическое поведение во всей области $K_M$, а она является канонической относительно той же пары из ветви $p$ и бесконечно удалённой точки, что и $D_1$.