Факториа́льное кольцо́ (гауссово кольцо), кольцо с однозначным разложением на множители. Точнее, факториальное кольцо $A$ – это область целостности, в которой можно выбрать систему экстремальных элементов $P$ такую, что любой ненулевой элемент $a\in A$ допускает единственное представление вида

$$a=u\prod_{p\in P}p^{n(p)},$$где $u$ обратим, а целые неотрицательные показатели $n(p)$ отличны от нуля только для конечного числа элементов $p\in P$. При этом элемент называется экстремальным в $A$, если из $p=uv$ следует, что либо $u$, либо $v$ обратим в $A$, и $p$ необратим в $A$.

В факториальном кольце существует наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное любых двух элементов. Кольцо $A$ факториально тогда и только тогда, когда оно является кольцом Крулля и выполняется одно из следующих эквивалентных условий:

1) любой дивизориальный идеал в $A$ является главным;

2) любой простой идеал высоты $1$ главный;

3) любое непустое семейство главных идеалов обладает максимальным элементом, и пересечение любых двух главных идеалов является главным идеалом.

Любое кольцо главных идеалов факториально. Дедекиндово кольцо факториально, только если оно – кольцо главных идеалов. Если $S$ – мультипликативная система в факториальном кольце $A$, то кольцо частных $S^{-1}A$ факториально. Для кольца Зариского $R$ из факториальности его пополнения $\hat R$ следует факториальность самого $R$.

Подкольцо и факторкольцо факториального кольца не обязаны быть факториальными кольцами. Кольцо многочленов над факториальным кольцом и кольцо формальных степенных рядов над полем или дискретно нормированным кольцом факториально. Однако кольцо формальных степенных рядов над факториальным кольцом не обязано быть факториальным.

Область целостности факториальна тогда и только тогда, когда её мультипликативная полугруппа гауссова, в связи с этим факториальные кольца называют также гауссовыми кольцами.