Инвариа́нтная ме́трика, риманова метрика $m$ на многообразии $M$, не изменяющаяся при всех преобразованиях из данной группы Ли $G$ преобразований. Сама группа $G$ при этом называется группой движений (изометрий) метрики $m$ [или риманова пространства $(M, m)$].

Группа Ли $G$ преобразований многообразия ${M}$, действующая на $M$ совершенно [т. е. так, что отображение $G \times M \rightarrow M \times M$, $(g, x) \rightarrow(g x, x)$ является собственным], обладает инвариантной метрикой. Верно и обратное: группа всех движений любой римановой метрики (а также любая её замкнутая подгруппа) является совершенной группой Ли преобразований. В этом случае стабилизатор

$$G_x=\{g \in G,\,\, g x=x\}$$любой точки $x \in M$ – компактная подгруппа в $G$. Если сама группа $G$ компактна, то $G$-инвариантную метрику $m_0$ на $M$ можно построить, усреднив произвольную метрику $m$ на $M$ по группе $G$:

$$m_0=\int_G\left(g^* m\right)\,d g,$$где интеграл берётся по мере Хаара.

В случае когда группа $G$ транзитивна, многообразие $M$ отождествляется с пространством смежных классов $G / H$ группы $G$ по стабилизатору $H=G_{x_0}$ фиксированной точки $x_0 \in M$ и для существования $G$-инвариантной метрики на $M$ необходимо и достаточно, чтобы линейная группа изотропии имела компактное замыкание в $G L\left(T_{x_0}({M})\right)$ (в частности, достаточно, чтобы $H$ была компактна). В этом случае пространство $G / H$ редуктивно, т. е. алгебра Ли $\mathfrak G$ группы $G$ допускает разложение $\mathfrak G = \mathfrak H+\mathfrak{M}$, где $\mathfrak H$ – подалгебра, отвечающая $H$, $\mathfrak{R}$ – подпространство, инвариантное относительно $\operatorname{Ad} H$, где $\operatorname{Ad} H$ – присоединённое представление группы $G$. Если отождествить $m$ c $T_{x_0}(M)$, то любая $G$-инвариантная метрика $m$ на $M$ получается из некоторой $\operatorname{Ad} H$-инвариантной евклидовой метрики $\langle, \rangle$ на $\mathfrak{M}$ следующим образом:

$$m_x(X, Y)= \left\langle g^{-1} X, g^{-1} Y\right\rangle, \quad X, Y \in T_x M,$$где $g \in G$ – такой элемент, что $g x_0=x$.

Тензорные поля, связанные с $G$-инвариантной метрикой (тензор кривизны, его ковариантные производные и т. п.), суть $G$-инвариантные поля. В случае однородного пространства $M=G / H$ их значение в точке $x_0$ выражается через операторы Номидзу $L_x\in\operatorname{End} \mathfrak {M}$ , задаваемые формулой

$$L_x Y=-\nabla_Y X^*= \left(\mathscr{L}_{X^*} -\nabla_{X^*}\right)_{x_0} Y,\quad Y \in \mathfrak{M},\quad X \in \mathfrak{G},$$где $X^*$ – поле скоростей однопараметрической группы преобразований $\exp t X$, $\nabla$ – оператор ковариантного дифференцирования римановой связности, а $\mathscr{L}$ – оператор производной Ли. В частности, для оператора кривизны $\operatorname{Riem}(X, Y)$ и для секционной кривизны $K(X, Y)$ по направлению, задаваемому ортонормальным базисом $X, Y \in \mathfrak{M}$, справедливы следующие формулы:

$$\begin{gathered} \operatorname{Riem}(X, Y)=\left[L_X, L_Y\right]-L_{[X, Y]}, \\ K(X, Y) \equiv- \langle\operatorname{Riem}(X, Y) X, Y \rangle= \\ =\left\langle L_X Y, L_X Y\right>-\left\langle[X, Y]_m,[X, Y]_m\right\rangle -\left\langle[Y,[Y, X]]_m, X\right\rangle - \\ -\left\langle L_X X, L_Y Y\right\rangle, \end{gathered}$$где $Z_m$ – проекция $Z \in \mathfrak{G}$ на $\mathfrak{M}$ вдоль $\mathfrak{S}$.

Операторы Номидзу выражаются в терминах алгебры Ли $\mathfrak{G}$ метрики $\langle , \rangle$ формулой

$$\begin{gathered} 2\left\langle L_X Y, Z\right\rangle= \\ =\left\langle[X, Y]_m, Z\right\rangle-\left\langle X,[Y, Z]_m \right\rangle -\left\langle Y,[X, Z]_m\right\rangle, \end{gathered}$$где $X \in\mathfrak{G}$, $Y,Z \in \mathfrak{M}$. Из определения операторов Номидзу следует, что их действие на $G$-инвариантные поля отличается только знаком от действия ковариантной производной в точке $x_0$. Если риманово пространство $(G / H, m)$ не содержит плоских сомножителей в разложении де Рама, то линейная алгебра Ли, порождённая операторами Номидзу $L_X$, $X \in\mathfrak{G}$, совпадает с алгеброй голономии пространства $(G / H, m)$ в точке $x_0$.

Описание геодезических инвариантной метрики на однородном пространстве можно дать следующим образом. Пусть сначала $M=G$ – группа Ли, действующая на себе при помощи левых сдвигов. Пусть $\gamma_t$ – геодезическая левоинвариантной метрики $m$ на группе Ли $G$ и $X_t=\gamma_t^{-1} \dot{\gamma}_t$ – соответствующая ей кривая в алгебре Ли $\mathfrak{G}$ (годограф скорости). Кривая $X_t$ удовлетворяет уравнению годографа

$$\dot{X}_t-L_{X_t} X_t=\dot{X}_t-\left(\operatorname{ad}^* X_t\right) X_t=0,$$где $\operatorname{ad}^* X$ – оператор, сопряжённый оператору присоединённого представления $\operatorname{ad} X$. Геодезическая $\gamma_t$ восстанавливается по своему годографу скорости $\chi_t$ из дифференциального уравнения $\dot{\gamma}_t=\gamma_t X_t$ (линейного, если группа $G$ линейна) или из функциональных соотношений

$$\left\langle X_t,(\operatorname{Ad} \gamma(t)) Y\right\rangle=\operatorname{const}, \quad Y \in\mathfrak{G},$$задающих первые интегралы этого уравнения. Таким образом, описание геодезических метрики $m$ сводится к интегрированию уравнения годографа, которое иногда удаётся полностью проинтегрировать. Например, в случае когда метрика m инвариантна и относительно правых сдвигов, геодезические, проходящие через точку $e$, суть однопараметрические подгруппы группы $G$. Такая метрика существует на любой компактной группе Ли. В случае произвольного однородного пространства $M=G / H$ инвариантную метрику $m$ на $G$ можно «поднять» до такой левоинвариантной метрики $\tilde{m}$ на $G$, что естественное расслоение $G \rightarrow G / H$ риманова пространства $(G, \bar{m})$ над римановым пространством $(G / H, m)$ является римановым расслоением, т. е. при проектировании длина касательных векторов, ортогональных к слою, не меняется. Для этого достаточно продолжить метрику $\langle, \rangle$ на всю алгебру $\mathfrak{G}$, полагая

$$\left\langle\mathfrak{S}, \mathfrak{M}\right\rangle=0\,\, \text { и }\,\,\langle X, Y\rangle=-\operatorname{Tr} L_X L_Y\quad \left(X, Y \in \mathfrak{S}\right),$$и разнести её левыми сдвигами до метрики $\tilde{m}$ на $G$. Геодезические риманова пространства $(G / H, m)$ являются проекциями ортогональных к слоям геодезических риманова пространства $(G, \tilde{m})$.

Поскольку функция $X \rightarrow\langle X, X\rangle$ на $\mathfrak{G}$ всегда является первым интегралом уравнения годографа (интегралом энергии), соответствующее уравнению векторное поле на $\mathfrak{S}$ касается сфер $\langle X, X\rangle= \operatorname{const}$. Это влечёт за собой полноту уравнения годографа, а тем самым и полноту любой инвариантной римановой метрики на однородном пространстве. Для псевдоримановых метрик свойство полноты, вообще говоря, уже не имеет места. Однако любая инвариантная псевдориманова метрика на компактном однородном пространстве полна.

См. также Симметрическое пространство.