Однопараметри́ческая гру́ппа преобразова́ний (поток), действие аддитивной группы действительных чисел $\mathbb{R}$ на многообразии $M$.

Таким образом, однопараметрическое семейство $\left\{\varphi_t,\,\, t \in \mathbb{R}\right\}$ преобразований многообразия $M$ является однопараметрической группой преобразований, если выполнены следующие условия:

$$\varphi_{t+s}x=\varphi_t\left(\varphi_s x\right),\quad \varphi_{-t}x =\varphi_t^{-1} x,\,\, \forall t, s \in \mathbb{R},\,\, x \in M. \tag{*}$$Если многообразие $M$ гладкое, то обычно предполагается, что однопараметрическая группа преобразований тоже гладкая, т. е. соответствующее отображение

$$\varphi: \mathbb{R} \times M \longrightarrow M,\quad (t, x) \longrightarrow \varphi_t x$$является дифференцируемым отображением дифференцируемых многообразий.

Более общим, чем понятие однопараметрической группы преобразований, является понятие локальной однопараметрической группы преобразований многообразия $M$. Оно определяется как отображение $\varphi: U \rightarrow M$ некоторого открытого подмногообразия $U \subset \mathbb{R} \times M$ вида $U = \bigcup_{x \in M}(] \varepsilon_{-}(x), \varepsilon_{+}(x)[, x)$, где $\varepsilon_{+}(x)>0$, $\varepsilon_{-}(x)<0$ для $x \in M$, удовлетворяющее условиям (*) при всех $t, s \in \mathbb{R}$, $x \in M$, для которых обе части равенств определены.

С каждой гладкой локальной однопараметрической группой преобразований $\left\{\varphi_t\right\}$ многообразия $M$ связывается векторное поле

$$M \ni x \longrightarrow X_x=\left[\frac{d}{d t} \varphi_t x\right]\bigg|_{t=0},$$называемое полем скоростей или инфинитезимальной образующей однопараметрической группы преобразований $\left\{\varphi_t\right\}$. Обратно, любое гладкое векторное поле $X$ порождает локальную однопараметрическую группу преобразований $\varphi_t$, имеющую полем скоростей поле $X$. В локальных координатах $x^i$ на $M$ эта однопараметрическая группа преобразований задаётся как решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений

$$\frac{d \varphi^i\left(t, x^j\right)}{d t} = X^i \left(x^j\right)$$c начальными условиями $\varphi^i\left(0, x^j\right) =x^i$, где $X= \sum_i X^i \frac{\partial}{\partial x^i}$.

Если локальная однопараметрическая группа преобразований, порождаемая векторным полем $X$, продолжается до глобальной однопараметрической группы преобразований, то поле $X$ называется полным. На компактном многообразии любое векторное поле является полным, и, таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между однопараметрическими группами преобразований и векторными полями. На некомпактном многообразии это уже не так, причём множество полных векторных полей даже не замкнуто относительно сложения.