Размерность Лебега

Разме́рность Лебе́га, размерность, определённая посредством покрытий; важнейший размерностный инвариант $\operatorname{dim} X$ топологического пространства $X$, открытый А. Лебегом (1911). Он высказал гипотезу, что $\operatorname{dim} I^{n}=n$ для n-мерного куба $I^{n}$. Л. Брауэр (1913) впервые доказал это, а также более сильное тождество: $\operatorname{dim} I^{n}=\operatorname{Ind} I^{n}=n$. Точное определение инварианта $\operatorname{dim} X$ (для класса метрических компактов) дал П. С. Урысон, доказавший для пространств $X$ этого класса тождество$$\operatorname{dim} X= \operatorname{ind} X= \operatorname{Ind} X$$(тождество Урысона в теории размерности), распространённое на класс всех сепарабельных метрических пространств в 1925 г. В. Гуревичем и Л. А. Тумаркиным.

Для компактов $X$ размерность Лебега определяется как наименьшее целое число $n$, обладающее тем свойством, что при любом $\varepsilon>0$ существует конечное открытое $\varepsilon$-покрытие компакта $X$, имеющее кратность $\leqslant n+1$; при этом $\varepsilon$-покрытием метрического пространства называется покрытие, все элементы которого имеют диаметр $<\varepsilon$, a кратностью конечного покрытия пространства $X$ называется наибольшее такое целое число $k$, что существует точка пространства $X$, содержащаяся в $k$ элементах данного покрытия. Для произвольного нормального (в частности, метризуемого) пространства $X$ размерностью Лебега называется наименьшее целое число $n$ такое, что для всякого конечного открытого покрытия $\omega$ пространства $X$ существует вписанное в него конечное открытое покрытие $\alpha$ кратности $n+1$. При этом покрытие $\alpha$ называется вписанным в покрытие $\omega$, если каждый элемент покрытия $\alpha$ является подмножеством хотя бы одного элемента покрытия $\omega$.