Э́йлеровы интегра́лы, интегралы вида

$$B(a,b)=\int_0^1 x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx\tag{1}$$(эйлеров интеграл 1-го рода, или бета-функция) и

$$Γ(a)=\int_{0}^{\infty} x^{a-1}e^{-x}dx\tag{2}$$(эйлеров интеграл 2-го рода, или гамма-функция).

Эйлеров интеграл 1-го рода изучался Л. Эйлером в 1730–1731 гг., ранее рассматривался И. Ньютоном и Дж. Валлисом; эйлеров интеграл 2-го рода рассматривался Эйлером в 1729–1730 гг. в форме, эквивалентной формуле (2); сама формула (2) встречается у него в 1781 г. (опубликовано в 1794); название «эйлеровы интегралы» дано А.-М. Лежандром.

Эйлеровы интегралы позволяют обобщить понятия биномиальных коэффициентов $C_n^m$ и факториала $n!$, ибо если $a,b$ – натуральные числа, то

$$B(a,b)=\frac{1}{bC_{a+b-1}^{a-1}},\quad Γ(a+1)=a!$$Интегралы (1) и (2) абсолютно сходятся, если $a$ и $b$ положительны, и не существуют, если $a$ и $b$ отрицательны. Справедливы соотношения

$$B(a,b)=B(b,a),\quad B(a,b)=\frac{Γ(a)Γ(b)}{Γ(a+b)};$$последнее сводит изучение бета-функции к изучению гамма-функции. Существует ряд соотношений между эйлеровыми интегралами при различных значениях аргументов, обобщающих соответствующие соотношения между биномиальными коэффициентами. Эйлеровы интегралы можно рассматривать и при комплексных значениях аргументов. Эйлеровы интегралы встречаются во многих вопросах теории специальных функций, к ним сводятся многие определённые интегралы, не выражаемые элементарно. Эйлеровым интегралом называют также интеграл

$$\int_0^1 u^{b-1}(1-u)^{c-b-1}(1-xu)^{-a}du=\\=\frac{Γ(b)Γ(c-b)}{Γ(c)}F(a,b,c,x),$$выражающий гипергеометрическую функцию $F(a,b,c,x)$.