Демографи́ческие табли́цы, упорядоченные ряды взаимосвязанных величин, характеризующих течение одного или нескольких демографических процессов в когорте. Представляют собой числовые модели, отображающие изменение интенсивности соответствующего демографического процесса в зависимости от собственного времени когорты (например, возраст, продолжительность брака) и изменение численности самой когорты под воздействием соответствующих процессов. Демографические таблицы – один из наиболее распространённых видов представления демографических процессов.

В истории демографии первой попыткой составления демографической таблицы была таблица смертности Граунта (17 в.). Таблицы брачности появились в 18 в. [И. Мюре (1715–1796)], таблицы рождаемости – в 19 в. (Р. Бёк). Теория построения демографических таблиц развивается постоянно; они до сих пор служат наиболее эффективным инструментом демографического анализа и основой большинства демографических моделей.

Демографические таблицы могут характеризовать демографические процессы как в реальной, так и в гипотетической когорте. Таблица состоит из набора взаимосвязанных показателей, причём каждый ряд однотипных показателей рассчитан по единой шкале таблицы. Шкалой таблицы служит время, прошедшее с момента образования когорты, – возраст (время, прошедшее с момента рождения), продолжительность брака (время, прошедшее с момента заключения брака) и т. п. Время на шкале таблицы измеряется в годах, а также в месяцах или днях. В зависимости от шага шкалы таблицы делятся на полные – с шагом в один год и краткие – с более крупным шагом, обычно в 5 или 10 лет. Демографические таблицы с более дробным шагом, который применяется в таблицах младенческой смертности и в некоторых таблицах рождаемости, не имеют специального названия. Шкала таблицы помещается в первой слева колонке (графе) таблицы, а если демографическая таблица содержит много показателей, то и в последней правой колонке. Так, если шкалой таблицы служит продолжительность брака от 0 до 29 лет с шагом в один год, то каждый показатель рассчитывается для каждого из однолетних интервалов продолжительности брака и располагается в специальной графе справа от шкалы.

Все показатели демографической таблицы вычисляются в едином масштабе, называемом корнем демографической таблицы, который принимается равным какому-либо круглому числу, обычно 10 000 или 100 000; это число – условная исходная численность когорты.

Типы демографических таблиц

Существуют два основных типа демографических таблиц – общие и специальные, которые различаются как составом показателей, так и их интерпретацией. Тип демографической таблицы зависит от того, как рассматривается единичное демографическое событие описываемого процесса – как повторимое или неповторимое в жизни человека. Принципиально неповторимым событием является только смерть, другие события (брак, деторождение, развод) повторимы, если не различать их очерёдность; если же отдельно рассматривать 1-й брак, 2-й брак и т. п., то эти события неповторимы. Если единичные события рассматриваются как повторимые, то строятся общие демографические таблицы; если события рассматриваются как неповторимые, то специальные.

Показатели демографической таблицы характеризуют рассматриваемый демографический процесс с разных сторон. Набор их может быть больше или меньше, но есть устоявшаяся традиция вычисления основных показателей для каждого типа демографических таблиц. Все показатели демографических таблиц взаимосвязаны определёнными соотношениями. Эти соотношения имеют две формы: теоретическую (аналитическую), в которой могут присутствовать действия, выполнимые с величинами, заданными в числовой (табличной) форме лишь с определённой степенью точности (интегрирование, логарифмирование и т. п.); практическую форму, в которой все аналитические соотношения упрощены так, что могут быть вычислены точно. Строго точны только аналитические соотношения показателей, точность практических соотношений зависит от принятых допущений, возможностей вычислительной техники и требуемой точности результата, которая обычно не превосходит величины, обратной корню таблицы. Все показатели могут быть получены с помощью этих соотношений из любого показателя, но обычно исходным служит только один из них, из которого в определённом порядке получают остальные. Исходным выбирается тот показатель, который простейшим путём и с наименьшими допущениями может быть получен из статистических данных. Получение всех показателей из исходного называется развёрткой таблицы.

Исходный показатель, полученный непосредственно из статистических данных, может содержать погрешности, связанные с качеством и особенностями статистического материала. Поэтому до развёртки таблицы этот показатель анализируется как самостоятельная демометрическая функция, и если выясняется, что он содержит колебания, не связанные с особенностями изучаемого процесса, ряд его значений выравнивается. Иногда особенности статистического материала вынуждают нарушать этот порядок и выравнивать значения не исходного, а какого-либо из производных показателей. В этом случае в качестве исходного рассматривается выравненный показатель и вся таблица разворачивается вновь. Никакое независимое выравнивание показателей таблицы недопустимо, т. к. это нарушает их соотношение.

Все показатели демографических таблиц делятся на интервальные, характеризующие процесс в каждом интервале шкалы, и кумулятивные, т. е. характеризующие процесс за весь период жизни когорты до данного значения шкалы или после данного значения шкалы.

Наиболее универсальными показателями, вычисляемыми практически во всех демографических таблицах, служат табличные коэффициенты (табличные коэффициенты смертности, коэффициенты брачности, коэффициенты рождаемости и т. п.). Они могут быть простыми, т. е. показывать среднее число событий за данный период времени в единичном интервале жизни когорты, или дифференцированными, т. е. показывать среднюю частоту событий данного вида, например смертей от данной причины, браков с партнёрами данного возраста, рождении данной очерёдности и т. п. Если коэффициенты дифференцированы, то обычно приводится их набор, учитывающий все возможные виды событий. В зависимости от того, рассматриваются ли события дифференцированно или нет, демографическая таблица называется дифференцированной или простой. В кратких демографических таблицах табличный коэффициент может быть представлен в двух видах: в расчёте за год и в расчёте за интервал шкалы таблицы, например за пять лет. Если в общей краткой таблице рождаемости табличный коэффициент рождаемости показывает среднее число рождений за год у женщин в данном интервале возраста и среднее число рождений за пять лет у женщин в данном пятилетнем интервале возраста, то обычно в таких случаях приводятся оба значения коэффициента.

В общих демографических таблицах коэффициент – это основной показатель. Он вычисляется по отношению ко всей численности когорты, которая не меняется от шага шкалы и остаётся равной корню таблицы. Кроме интервальных коэффициентов, общие демографические таблицы содержат обычно кумулятивные коэффициенты, которые показывают среднее число событий, происшедших в когорте до данного момента шкалы или после него, например среднее число браков до данного возраста или среднее число рождений после данной продолжительности брака.

Специальные демографические таблицы представляют собой более глубокую и сложную систему показателей. Кроме интервальных коэффициентов (кумулятивные коэффициенты вычисляются редко), в них важное место принадлежит вероятности наступления события в данном интервале шкалы, которая, в отличие от коэффициентов, вычисляется по отношению к начальной для данного интервала численной совокупности. Если событие рассматривается как неповторимое, то каждый человек, с которым оно произошло, тем самым теряет шанс, что оно с ним произойдёт в будущем, поэтому по мере того как события происходят, численность тех членов когорты, с кем оно может произойти, уменьшается. Эта особенность специальных демографических таблиц так важна, что их часто называют таблицами выбытия. Вероятность наступления события показывает, какая доля численности когорты, имеющая шанс наступления события в начале интервала шкалы, выйдет из состава когорты к концу этого интервала. Например, в таблице смертности (см. такую таблицу в статье Смертность) вероятность умереть показывает, какая доля из доживших до данного возраста не доживёт до следующего. В кратких специальных таблицах вероятности вычисляются в расчёте на один год, т. е. показывают среднюю вероятность наступления события в течение одного года на данном интервале шкалы.

Вероятности, как и коэффициенты, могут быть простые и дифференцированные. Кроме вероятности наступления события, в таблице часто приводится её дополнение до единицы, т. е. вероятность не выйти из состава когорты. Вероятности часто вычисляются не в масштабе корня таблицы, а в расчёте на единицу, как это принято в теории вероятностей, хотя смысл вероятности демографического события и не соответствует математической трактовке понятия «вероятность».

Вероятность и табличный коэффициент связаны между собой (Л. Е. Дарский, М. С. Тольц. C. 16). В каждом интервале от $a$ до $a+1$ коэффициент $k_{a}$ и вероятность $p_{a}$ равны следующим выражениям:

$p_{a/a+1} =1- e^{ -\int_{a}^{a+1} \gamma(x)dx }$,

$k_{a/a+1} = \frac{ \int_{a}^{a+1} e^{ -\int_{a}^{y} \gamma(x)dx } \cdot \gamma(y) dy }{ \int_{a}^{a+1} e^{-\int_{a}^{y} \gamma(x)dx }dy}$ .

Как видно, связь эта не прямая, а косвенная – в оба соотношения входит некая величина $\gamma (x)$. Эта величина, называемая силой процесса, сама не вычислима, но имеет важное значение в математической демографии и занимает центральное место в теории демографических таблиц, т. к. связывает между собой отдельные показатели и помогает их интерпретации.

Важным показателем демографической таблицы служит также вероятность остаться в составе когорты на протяжении всего отрезка времени от момента формирования когорты до данного момента шкалы, которая вычисляется по отношению к исходной численности когорты. Она часто трактуется как число лиц, оставшихся в прежнем состоянии до данного момента времени (число доживающих в таблице смертности, число состоящих в браке в таблице прекращения брака и т. п.). Иногда вычисляют также дополнение этой вероятности до 1, т. е. вероятность выбыть из когорты к данному моменту шкалы (вероятность вступить в брак к данному возрасту, вероятность родить первенца к данной продолжительности брака и т. п.).

Эти кумулятивные вероятности связаны обычными правилами умножения вероятностей с интервальными вероятностями, что даёт возможность вычислить множество разнообразных аналитических показателей, особенно если имеются демографические таблицы для разных процессов.

В число основных показателей демографической таблицы входит также вероятность выбытия из когорты в данном интервале шкалы, рассчитанная по отношению ко всей исходной совокупности. Ряд этих вероятностей даёт представление о том, как распределяются люди по шкале выбытия из когорты под влиянием рассматриваемого процесса, их сумма показывает, какую часть когорты затрагивает данный процесс на протяжении всего периода, охваченного шкалой, а средняя из градаций шкалы, взвешенная этими вероятностями, показывает среднее значение шкалы при наступлении события (средняя длительность жизни, средний возраст вступления в брак и т. п.). Вероятность выбытия из состава когорты в данном интервале шкалы часто трактуется просто как доля лиц, с которыми произошли события в данном интервале шкалы, в общей исходной численности когорты, равной корню таблицы. Эта величина также может быть дифференцирована по виду события и в этом случае позволяет получить более углублённую характеристику процесса. 

Кроме вероятностных показателей в специальных таблицах имеется также показатель числа человеко-лет, прожитых в данном интервале шкалы теми лицами, с которыми не произошло рассматриваемого события, часто трактуемый как средняя численность таких лиц в данном интервале шкалы. Этот показатель и его кумулятивные аналоги в самой таблице имеют подчинённое значение как этап расчёта других аналитических показателей, но он получает более глубокую интерпретацию в модели стационарного населения как численность модельного населения в данном интервале. Он служит также исходным при перспективных и других расчётах численности населения методом передвижки по возрастам. Связь этого показателя с другими определяется аналитическим выражением:

$L_{a/a+1} = \int_{a}^{a+1} e^{- \int_{0}^{y} \gamma (x)dx} dy$,

из которого видно его соотношение с коэффициентами и вероятностями.

Особое место из-за своей высокой информативности и популярности занимают в демографических таблицах показатели ожидаемой или средней длительности пребывания в данном демографическом состоянии (ожидаемая продолжительность жизни, средний табличный возраст вступления в брак и т. п.). Они трактуются как средние значения показателя шкалы, взвешенные соответствующими вероятностными показателями, хотя часто получаются и иным образом.

Специальные таблицы могут описывать одновременное действие одного или нескольких демографических процессов (смертность и миграция, смертность холостых и брачность и т. п.). Одновременное описание в одной таблице нескольких процессов применяется тогда, когда их действие взаимосвязано и к уменьшению численности когорты приводят события разного рода. Обычно комбинируется основной описываемый процесс с другим, приводящим к выбытию лиц из-под действия основного процесса. Например, строятся комбинированные таблицы брачности и смертности для никогда не состоявших в браке, разводимости и овдовения для состоящих в браке и т. п. В отличие от комбинированной, та таблица, в которой описан только один процесс, называется чистой. Обычно чистыми называют только те демографические таблицы, где влияние какого-либо другого процесса устранено с помощью показателей комбинированной таблицы.

В комбинированной таблице имеются показатели, характеризующие совместное действие процессов, и показатели, описывающие действие каждого из них в отдельности. Причём совместное действие процессов описывается на каждом интервале шкалы как суммарное действие учтённых процессов, а вероятность выбыть из совокупности вообще принимается равной сумме вероятностей выхода под действием каждого из этих процессов. Например, вероятность прекращения брака в комбинированной таблице прекращения брака равна сумме вероятностей смерти мужа, смерти жены и вероятности развода.

На основе комбинированной таблицы строится чистая, показатели которой описывают один из процессов в том виде, в котором он происходил бы в когорте, если бы другие учтённые в комбинированной таблице процессы отсутствовали. Для того чтобы получить показатели чистой таблицы, предполагают, что процессы ($i$) независимы и их действие аддитивно, исходя из этого силы процессов складываются. Соотношение вероятности в чистой таблице $\widetilde{p} ^{i}_{a}$ (независимой вероятности) и вероятностей в комбинированной таблице $p^{i}_{a}$ (зависимой вероятности), полученное с учётом этого предположения, выражается формулой:

$\widetilde{p} ^{i}_{a} =1-(1- \sum_ip ^{i}_{a})^{ \omega }$,

где

$w= \frac{ \int_{a}^{a+1} \gamma ^{i}(x)dx }{ \sum_i \int_{a}^{a+1} \gamma ^{i} (x)dx}$.

Обычно комбинированные демографические таблицы и соответственные чистые таблицы располагаются рядом для удобства пользования, т. к. их сопоставление – один из приёмов анализа.

Нередко строятся комплексы демографических таблиц, связанных тем, что выбывающие из когорты вследствие одного процесса одновременно формируют когорту, подверженную другому процессу, например комплекс таблицы брачности и таблицы прекращения браков, где прослеживаются процесс вступления в браки и процесс прекращения этих браков, и при этом сочетаются две шкалы – возраст и продолжительность брака; аналогичную структуру имеет комплекс таблицы заболеваемости и таблицы смертности.

Другой тип комплекса таблиц получается, когда соединяются в общую систему таблицы, описывающие последовательные или параллельные процессы с однотипными шкалами, в котором лица, выбывшие из одной когорты, не формируют новую, а пополняют когорту, описываемую другой таблицей. В этом комплексе таблиц последние сливаются в органическом единстве и образуют неразрывную систему, описывающую взаимосвязанные процессы, например рождения детей разных очерёдностей (таблицы рождаемости по очерёдности рождения). Такими комплексами таблиц являются все виды мультистатусных таблиц, в частности мультирегиональные таблицы, разработанные американским демографом А. Роджерсом для анализа и прогноза демографических процессов с учётом миграции.

Развитие теории и практики построения демографических таблиц идёт по пути усложнения таких комплексов и синтетического описания различных демографических процессов на основе вычислительной техники и расширения информационной базы. Из демографии теория демографических таблиц и их аналитические возможности стали проникать в социальную гигиену, социологию, биологию и даже экономические и технические дисциплины, изучающие массовые процессы.