Аппроксимати́вный преде́л, предел функции $f(x)$ при $x\to x_0$ по множеству $E$, для которого $x_0$ является точкой плотности. В простейшем случае $f(x)$ есть действительная функция точки $n$-мерного евклидова пространства (в более общем случае – вектор-функция). Аппроксимативный предел обозначается

$$\lim_{x\to x_0}\mathrm{ap}\,f(x).$$Из существования аппроксимативного предела, вообще говоря, не следует существование обычного предела. Для аппроксимативного предела имеют место элементарные свойства пределов: единственность, теоремы о пределе суммы, разности, произведения и частного двух функций.

Пусть $x_0$ – точка плотности области определения действительной функции $f(x)$. Если при этом существует обычный предел $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$, то существует и равный ему аппроксимативный предел. Верхним аппроксимативным пределом функции $f(x)$ в точке $x_0$ называется нижняя грань множества чисел $y$ (причём $y=+\infty$ не исключается), для которых множество $\{x: f(x)>y\}$ имеет $x_0$ своей точкой разрежения. Аналогично, нижним аппроксимативным пределом функции $f(x)$ в точке $x_0$ называется верхняя грань множества тех $y$ ($y=-\infty$ не исключается), для которых $x_0$ служит точкой разрежения множества $\{x: f(x)<y\}$. Эти аппроксимативные пределы обозначаются соответственно

$$\varlimsup_{x\to x_0}\mathrm{ap}\,f(x) \text{ и }\varliminf_{x\to x_0}\mathrm{ap}\,f(x).$$Аппроксимативный предел существует в том и только том случае, если верхний и нижний аппроксимативные пределы равны; их общее значение совпадает с аппроксимативным пределом.

В случае действительного $x$ употребляются также односторонние (правый и левый) верхние и нижние аппроксимативные пределы (при этом требуется, чтобы $x_0$ была соответственно правосторонней или левосторонней точкой плотности области определения функции). Для правого верхнего аппроксимативного предела употребляют запись

$$\mathop{\overline{\mathrm{lim}}}\limits_{\substack{x\to x_0\\x>x_0}}\mathrm{ap}\,f(x),$$аналогично записываются и другие случаи. При совпадении правых верхнего и нижнего аппроксимативных пределов получается правый аппроксимативный предел, при совпадении левых – левый аппроксимативный предел.

Аппроксимативный предел был использован впервые А. Данжуа (1915) и А. Я. Хинчиным (1916–1918) при исследовании дифференциальных связей неопределённого интеграла (в смысле Лебега и в смысле Данжуа – Хинчина) и подинтегральной функции (см. Аппроксимативная непрерывность, Аппроксимативная производная).