Аппроксимати́вная непреры́вность, обобщение понятия непрерывности с заменой обычного предела на аппроксимативный предел. Функция $f(x)$ называется аппроксимативно непрерывной в точке $x_0$, если

$$\lim_{x\to x_0}\mathrm{ap}\,f(x)=f (x_0).$$В простейшем случае $f(x)$ – действительная функция точки $n$-мерного евклидова пространства (в более общем случае – вектор-функция).

Справедливы следующие теоремы:

1. Действительная функция $f(x)$ измерима, по Лебегу, на множестве $E$ в том и только том случае, если она аппроксимативно непрерывна почти всюду на $E$ (теорема Данжуа – Степанова).

2. Для любой ограниченной измеримой, по Лебегу, функции $f(x)$ в каждой точке $x_0$ её аппроксимативной непрерывности$$\lim_{\rho\to 0}\frac1{\mu(R)}\int\limits_Rf(x)\,d\mu=f(x_0),$$где $\mu$ есть $n$-мерная мера Лебега, $R$ – содержащий точку $x_0$ $n$-мерный невырожденный сегмент, $\rho$ – его диаметр.