Аппроксимати́вная произво́дная, обобщение понятия производной, в котором обычный предел заменяется аппроксимативным пределом. Если для функции $f(x)$ действительного переменного $x$ существует

$$\lim_{x\to x_0}\mathrm{ap}\,\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},$$то он называется аппроксимативной производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ и обозначается $f'_{\mathrm{ap}}(x_0)$. В простейшем случае $f(x)$ есть действительная функция (в более общем случае – вектор-функция). Аппроксимативная производная может быть как конечной, так и бесконечной. Для конечной аппроксимативной производной справедливы классические правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного функций; теорема о дифференцировании сложной функции, вообще говоря, не имеет места. Понятие аппроксимативной производной введено А. Я. Хинчиным в 1916 г.

По аналогии с обычными производными числами определяются аппроксимативные производные числа: $\Lambda_d(x_0)$ – верхнее правое, $\lambda_d(x_0)$ – нижнее правое, $\Lambda_g(x_0)$ – верхнее левое, $\lambda_g(x_0)$ – нижнее левое; например,

$$\Lambda_d(x_0)=\mathop{\overline{\mathrm{lim}}}\limits_{\substack{x\to x_0\\x>x_0}}\mathrm{ap}\,\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$Справедливы следующие теоремы Данжуа – Xинчина. Если действительная функция $f(x)$ конечна и измерима по Лебегу на множестве $E$, то почти в каждой точке этого множества либо $f(x)$ имеет конечную аппроксимативную производную, либо

$$\Lambda_d(x_0)=\Lambda_g(x_0)=+\infty,\quad \lambda_d(x_0) = \lambda_g(x_0) = -\infty.$$Если

$$F(x) =\int\limits_a^xf(t)\,dt$$– интеграл в смысле Данжуа – Хинчина, то $F'_\mathrm{ap}(x)= f(x)$ почти всюду в рассматриваемом промежутке (при этом обычная производная может не существовать на множестве положительной меры). Эта теорема объясняет роль аппроксимативной производной в теории интеграла.

Существуют непрерывные функции, не имеющие ни обычной, ни аппроксимативной производной во всех точках произвольно заданного промежутка.

Для функций нескольких действительных переменных рассматриваются аппроксимативные частные производные.