А́лгебра Не́ймана, подалгебра $A$ алгебры $\mathcal {B} (H)$ ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве $H$, самосопряжённая (т. е. содержащая вместе с каждым оператором $T$ сопряжённый к нему оператор $T ^{*}$) и совпадающая со своим бикоммутантом (т. е. содержащая те и только те операторы $T \subset {\mathcal B} (H)$, которые перестановочны с каждым оператором, перестановочным со всеми операторами из $A$). Эти алгебры были введены Дж. Нейманом. Согласно теореме Неймана, самосопряжённая алгебра $A \subset {\mathcal B} ( H)$ тогда и только тогда является алгеброй Неймана, когда алгебра $A$ (или её единичный шар) замкнута в слабой, сильной, ультраслабой или ультрасильной, но не равномерной операторной топологии. Данная симметричная банахова алгебра $B$ тогда и только тогда изометрически изоморфна некоторой алгебре Неймана, когда $B$ есть C*-алгебра, изометричная некоторому сопряжённому пространству; банахово пространство $E$, удовлетворяющее условию $E ^ {*} = B$, определено однозначно с точностью до изометрического изоморфизма и может быть отождествлено с пространством ультраслабонепрерывных линейных форм на изометрически изоморфной $B$ алгебре Неймана; это пространство обозначается $B _ {*}$ и называется преддвойственным пространством для $B$. Такие симметричные банаховы алгебры называются $W ^ {*}$-алгебрами. Пусть $A$ алгебра Неймана в гильбертовом пространстве $H$, $A ^ \prime$ – её коммутант, $Z = A \cap A ^ \prime$ – центр алгебры, $P$ – проектор в $A$, $P ^ \prime$ – проектор в $A ^ \prime$. Подпространство $P ^ \prime H$ инвариантно относительно $A$, и семейство ограничений операторов из $A$ на подпространство $P ^ \prime H$ образует алгебру Неймана в пространстве $P ^ \prime H$; эта алгебра обозначается $A _ {P} ^ \prime$ и называется индуцированной, а отображение $T \rightarrow T \mid _ {P ^ \prime H }$ называется индукцией $A$ на $A _ {P ^ \prime }$; семейство ограничений операторов вида $P T P$, $T \in A$, на подпространство $P H$ образует алгебру Неймана $A _ {P}$ в пространстве $P H$, эта алгебра называется редуцированной. Если $P = P ^ \prime \in Z$, то редуцированная и индуцированная алгебры Неймана совпадают. Изометрический изоморфизм алгебры Неймана называют алгебраическим; алгебру Неймана в гильбертовом пространстве $H$ называют пространственно изоморфной алгебре Неймана $B$ в пространстве $K$, если существует унитарный оператор $U$, отображающий $H$ на $K$ и удовлетворяющий условию $B = U A U ^ {-1}$. Пересечение любого семейства алгебр Неймана в данном гильбертовом пространстве есть алгебра Неймана; наименьшая алгебра Неймана, содержащая данное множество $M$, называется алгеброй Неймана, порождённой множеством $M$.

Пусть $H _ {i}$, $i \in I$ – гильбертовы пространства, $H = \sum ^ \oplus H _ {i}$ – их прямая сумма, $A _ {i}$ – алгебра Неймана в $H _ {i}$, $A$ – алгебра Неймана в пространстве $H$, порождённая такими операторами $T$ из ${\mathcal B} ( H)$, что каждое подпространство $H _ {i}$ инвариантно относительно $T$ и ограничение $T$ на $H _ {i}$ принадлежит $A _ {i}$; алгебра Неймана $A$ называется прямым произведением алгебр Неймана $A _ {i}$ и обозначается $A = \times _ {i \in I } A _ {i}$. Для алгебр Неймана определены также операции тензорного произведения и бесконечного тензорного произведения. Алгебра Неймана называется фактором, если её центр состоит из операторов, кратных единичному.

Пусть $A$ – алгебра Неймана, $A ^ {+}$ – множество положительных операторов из $A$. Весом на $A$ называют аддитивное отображение $\varphi$ множества $A^+$ в $[ 0 , \infty ]$, однородное относительно умножений на положительные числа. Вес $\varphi$ называют следом, если $\varphi ( U T U ^ {-1} ) = \varphi ( T)$ для всех $T \in A ^ {+}$ и всех унитарных операторов $U$ из $A$. След называется конечным, если $\varphi ( T) < \infty$ для всех $T \in A$; полуконечным, если для любого $S \in A ^ {+}$ величина $\varphi ( S)$ есть верхняя грань чисел вида $\varphi ( T)$, где $\varphi ( T) < \infty$ и $0 \leqslant T \leqslant S$; точным, если из условия $\varphi ( T) = 0$, $T \in A ^ {+}$, следует $T = 0$; нормальным, если для любого возрастающего семейства $T _ \alpha$ элементов из $A ^ {+}$ с точной верхней границей $T$ величина $\varphi ( T)$ является верхней гранью чисел $\varphi ( T _ \alpha )$. Алгебра Неймана $A$ называется конечной, если на $A$ существует семейство нормальных конечных следов, разделяющее точки $A$; собственно бесконечной, если на $A$ не существует ненулевых конечных следов; полуконечной, если на $A$ существует точный нормальный полуконечный след, и чисто бесконечной, или алгеброй типа $\textrm{ III }$, если на $A$ не существует ненулевых нормальных полуконечных следов. Алгебра Неймана называется дискретной, или алгеброй типа $\textrm{ I }$, если она алгебраически изоморфна алгебре Неймана, коммутант которой коммутативен; такая алгебра полуконечна. Алгебра Неймана называется непрерывной, если для любого ненулевого центрального проектора $P$ алгебры Неймана$A _ {P}$ не является дискретной. Непрерывная полуконечная алгебра называется алгеброй типа$\textrm{ II }$. Конечная алгебра типа$\textrm{ II }$называется алгеброй Неймана типа $\textrm{ II } _ {1}$; собственно бесконечная алгебра типа $\textrm{ II }$называется алгеброй Неймана типа $\textrm{ II } _ \infty$. Принадлежность алгебры Неймана к определённому типу равносильна принадлежности её коммутанта тому же типу, но коммутант конечной алгебры Неймана не обязательно является конечной алгеброй Неймана.

Пусть $A$ – алгебра Неймана, $P$, $Q$ – проекторы в $A$ , $P$ и $Q$ называются эквивалентными, $P \sim Q$, если существует такой элемент $U \in A$, что $P = U ^ {*} U$, $Q = U U ^ {*}$. Пусть $P \prec Q$, если существует такой проектор $P _ {1} \in A$, что $P \sim P _ {1}$ и $P _ {1} \leqslant Q$ ; отношение $\prec$ есть отношение частичного порядка. Классификация алгебр Неймана по типам может быть проведена в терминах этого отношения, в частности: проектор $P \in A$ называют конечным, если из условий $P _ {1} \in A$, $P _ {1} \sim P$, $P _ {1} \leqslant P$ следует, что $P _ {1} = P$; алгебра Неймана конечна тогда и только тогда, когда единичный проектор конечен, и полуконечна, если и только если точная верхняя граница семейства конечных проекторов есть единичный проектор.

Алгебра Неймана $A$ полуконечна тогда и только тогда, когда она может быть реализована как левая алгебра Неймана некоторой совершенной гильбертовой алгебры; элементами соответствующей гильбертовой алгебры являются такие элементы $x \in A$, что $\varphi ( x ^ {*} x ) < \infty$, где $\varphi$ – точный нормальный полуконечный след на $A$. Для алгебр типа$\textrm{ III }$соответствующая реализация может быть получена с помощью обобщённых гильбертовых алгебр и весов на алгебре Неймана.

Пусть $H _ {p}$ – фиксированное гильбертово пространство размерности $p$, $p = 1 \dots \aleph _ {0}$, $Z$ – борелевское пространство, $\mu$ – положительная мера на $Z$, $Z = \cup _ {p=1} ^ {\aleph _ {0} } Z _ {p}$ – разбиение $Z$ на непересекающиеся измеримые подмножества, $L _ {2} ( Z _ {p} , \mu , H _ {p} )$ – гильбертово пространство суммируемых с квадратом $\mu$ – измеримых отображений пространства $Z _ {p}$ в $H _ {p}$,

$$\begin{equation*} H = \oplus _ { p=1 } ^ \infty L _ {2} ( Z _ {p} , \mu , H _ {p} ) . \end{equation*}$$Пусть $H( \zeta ) = H _ {p}$ при $\zeta \in Z _ {p}$; если $f \in H$, то $f = \sum _ {p} f _ {p}$, где $f _ {p} \in L _ {2} (Z _ {p} , \mu, H _ {p})$; пусть $f ( \zeta ) = f _ {p} ( \zeta )$ при $\zeta \in Z _ {p}$; отображение $\zeta \rightarrow T ( \zeta )$, где $T ( \zeta )$ – непрерывный линейный оператор в гильбертовом пространстве $H ( \zeta )$, называется измеримым полем операторов, если для любого $f \in H$ функция $\zeta \rightarrow T ( \zeta ) f ( \zeta )$ измерима на каждом множестве $Z _ {p}$. Если $\zeta \rightarrow T ( \zeta )$ – измеримое поле операторов и функция $\zeta \rightarrow \| T ( \zeta ) \|$ существенно ограничена на $Z$, то для любого $f \in H$ существует единственный вектор $g \in H$ такой, что $g ( \zeta ) = T ( \zeta ) f ( \zeta )$ $\mu$-почти всюду. Отображение $T : H \rightarrow H$, определённое формулой $T f = g$ для всех $f \in H$, является ограниченным линейным оператором в $H$, и

$$\begin{equation*} \| T \| = { \mathop{\rm ess} \sup } _ {\zeta \in Z } \ \| T ( \zeta ) \| . \end{equation*}$$Такой оператор $T$ в $H$ называют разложимым. Пусть для любого $\zeta \in Z$ определена алгебра Неймана $A ( \zeta )$ в пространстве $H$$( \zeta )$; отображение $\zeta \rightarrow A ( \zeta )$ называется измеримым полем алгебр Неймана, если существует такая последовательность $\{ \zeta \rightarrow T _ {n} ( \zeta ) \}$ измеримых операторных полей, что при любом $\zeta \in Z$ алгебра Неймана $A ( \zeta )$ порождается операторами $T _ {n} ( \zeta )$. Множество всех таких разложимых операторов $T$ в $H$, что $T ( \zeta ) \in A$$( \zeta )$ при каждом $\zeta \in Z$, есть алгебра Неймана в $H$, обозначаемая

$$\begin{equation*} A = \int\limits ^ \oplus A ( \zeta ) d \mu ( \zeta ) , \end{equation*}$$она называется прямым интегралом алгебр Неймана $A ( \zeta )$ по мере $\mu$. Любая алгебра Неймана в сепарабельном гильбертовом пространстве изоморфна некоторому прямому интегралу факторов. Произвольная алгебра Неймана может быть подвергнута алгебраическому разложению, в связи с чем теория факторов и представляет интерес для общей теории алгебры Неймана.

Алгебры Неймана естественно возникают в задачах, связанных с операторами в гильбертовом пространстве, и имеют многочисленные приложения как в самой теории операторов и теории представлений групп и алгебр, так и в теории динамических систем, статистической физике и квантовой теории поля.