Спектральное разложение случайной функции

Спектра́льное разложе́ние случа́йной фу́нкции, 1) разложение случайной функции (в частности, случайного процесса) в ряд или интеграл по той или иной специальной системе функций такое, что коэффициенты этого разложения представляют собой взаимно некоррелированные случайные величины. Широкий класс спектральных разложений комплекснозначных случайных функций ${\displaystyle X(t)}$, ${\displaystyle t\in T}$, с нулевым средним значением [т. е. таких, что ${\displaystyle {\mathsf {E}}X(t)=0}$] может быть представлен в виде

${\displaystyle X(t)=\int _{\Lambda }\varphi (t;\lambda )Z(d\lambda )}$ (1),

где ${\displaystyle \Lambda }$ – некоторое множество с заданной системой «измеримых подмножеств» (т. е. измеримое пространство); ${\displaystyle \varphi (t;\lambda )}$, ${\displaystyle t\in T}$, ${\displaystyle \lambda \in \Lambda }$, – система комплекснозначных функций на ${\displaystyle T}$, зависящих от параметра ${\displaystyle \lambda \in \Lambda ;Z(d\lambda )}$ – случайная мера на ${\displaystyle \Lambda }$ с некоррелированными значениями [так что ${\displaystyle {\mathsf {E}}Z\left(\Delta _{1}\right){\overline {Z\left(\Delta _{2}\right)}}=0}$ для любых двух непересекающихся измеримых подмножеств ${\displaystyle \Delta _{1}}$ и ${\displaystyle \Delta _{2}}$], а интеграл в правой части (1) можно или определить как предел в среднем квадратичном соответствующей последовательности интегральных сумм Коши (Karhunen. 1947^[1]), или же понимать как более общий «интеграл Лебега по мере ${\displaystyle Z(d\lambda )}$» (о котором см., например, Розанов. 1959^[2]). Согласно общей теореме Карунена о спектральном разложении, для существования спектрального разложения (1) случайной функции ${\displaystyle X(t)}$ необходимо и достаточно, чтобы соответствующая корреляционная функция ${\displaystyle B(t,s)={\mathsf {E}}X(t){\overline {X(s)}}}$ допускала представление в виде

${\displaystyle B(t,s)=\int _{\Lambda }\varphi (t;\lambda ){\overline {\varphi (s;\lambda )}}F(d\lambda )}$,

где ${\displaystyle F(d\lambda )={\mathsf {E}}\mid Z(d\lambda )\mid ^{2}}$ – неотрицательная мера на ${\displaystyle \Lambda }$.

Наиболее известный класс спектральных разложений случайных функций – представления стационарных случайных процессов ${\displaystyle X(t)}$ в виде интеграла Фурье – Стилтьеса

${\displaystyle X(t)=\int _{\Lambda }e{\overline {^{it\lambda }dZ(\lambda )}}}$ (2),

где ${\displaystyle Z(\lambda )}$ – случайная функция ${\displaystyle \lambda }$ с некоррелированными приращениями, а ${\displaystyle \Lambda }$ – ось ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$ в случае процессов с непрерывным временем ${\displaystyle t}$ или же интервал ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$, если время ${\displaystyle t}$ дискретно (принимает целочисленные значения). Существование такого спектрального разложения следует из общей теоремы Хинчина об интегральном представлении корреляционной функции ${\displaystyle B(s)={\mathsf {E}}X(t+s){\overline {X(t)}}}$ (см. статью Стационарный случайный процесс); оно показывает, что любой стационарный случайный процесс можно рассматривать как наложение некоррелированных друг с другом гармонических колебаний различных частот со случайными фазами и амплитудами. Спектральное разложение аналогичного вида, но с заменой гармонических колебаний ${\displaystyle n}$-мерными плоскими волнами имеет место и для однородных случайных полей, заданных на евклидовом ${\displaystyle n}$-мерном пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ или же на решётке ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ точек ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ с целочисленными координатами. В случае обобщённого стационарного случайного процесса – линейного функционала ${\displaystyle X(\varphi )}$ на пространстве ${\displaystyle D}$ финитных бесконечно дифференцируемых функций ${\displaystyle \varphi (t)}$, удовлетворяющего условиям

${\displaystyle {\mathsf {E}}X\left(V_{a}\varphi \right)={\mathsf {E}}X(\varphi ),}$
${\displaystyle mathsf{E}X\left(V_{a}\varphi _{1}\right){\overline {X\left(V_{a}\varphi _{2}\right)}}={\mathsf {E}}X\left(\varphi _{1}\right){\overline {X\left(\varphi _{2}\right)}}}$

при всех действительных ${\displaystyle a}$, где ${\displaystyle V_{a}\varphi (t)=\varphi (t+a)}$ – спектральное разложение. Функционал ${\displaystyle X(\varphi )}$ имеет вид

${\displaystyle X(\varphi )=\int _{-\infty }^{\infty }{\tilde {\varphi }}(\lambda )dZ(\lambda )}$ (3),

где

${\displaystyle {\tilde {\varphi }}(\lambda )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{i\lambda t}\varphi (t)dt}$

– преобразование Фурье функции ${\displaystyle \varphi (t)}$. Формула (3) следует из того, что

${\displaystyle B\left(\varphi _{1},\varphi _{2}\right)=\mathrm {E} X\left(\varphi _{1}\right){\overline {X\left(\varphi _{2}\right)}}}$

можно представить в виде

${\displaystyle B\left(\varphi _{1},\varphi _{2}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }{\tilde {\varphi }}_{1}(\lambda ){\overline {{\tilde {\varphi }}_{2}(\lambda )}}dF(\lambda )}$,

где функция ${\displaystyle F(\lambda )={\mathsf {E}}\mid Z(\lambda )-Z(-\infty )\mid ^{2}}$ – монотонно неубывающая спектральная функция такая, что

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left(1+\lambda ^{2}\right)^{-m}dF(\lambda )<\infty }$

при некотором неотрицательном целом ${\displaystyle m}$ (Гельфанд. 1961^[3]). Если же в качестве пространства функций ${\displaystyle \varphi (t)}$ принять некоторое пространство целых аналитических функций, то можно прийти и к обобщённым стационарным случайным процессам ${\displaystyle X(\varphi )}$ с экспоненциально возрастающей спектральной функцией ${\displaystyle F(\lambda )}$ (см., например, Onoyama. 1959^[4]).

Спектральные разложения специального вида имеют место и для однородных случайных полей на группах ${\displaystyle G}$ и однородных пространствах ${\displaystyle S}$; этот факт в силу теоремы Карунена о спектральном разложении следует из ряда имеющихся результатов об общем виде положительно определённых функций (или ядер – функций двух переменных) на множествах ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle S}$. В частности, для однородного поля ${\displaystyle X(g)}$ на произвольной локально компактной коммутативной группе ${\displaystyle G}$ спектральное разложение поля ${\displaystyle X(g)}$ имеет вид (1), где роль функций ${\displaystyle \varphi (t;\lambda )}$ играют характеры ${\displaystyle \chi ^{(\lambda )}(g)}$ группы ${\displaystyle G}$, а областью интегрирования ${\displaystyle \Lambda }$ является соответствующая группа характеров ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ (например, Яглом. 1963^[5]; Xеннан. 1970). Спектральные разложения более сложного вида при широких условиях имеют место и для однородных полей на некоммутативных топологических группах (Яглом. 1963^[6]). Наконец, в случае однородных полей на однородных пространствах ${\displaystyle S=\{s\}}$ спектральное разложение поля ${\displaystyle X(s)}$ включает сферические функции пространства ${\displaystyle S}$, а в выражение для корреляционной функции ${\displaystyle B\left(s_{1},s_{2}\right)={\mathsf {E}}X\left(s_{1}\right){\overline {X\left(s_{2}\right)}}}$ входят соответствующие зональные сферические функции (Яглом. 1963; Хеннан. 1970^[7]). В частности, общее однородное поле ${\displaystyle X(\theta ,\varphi )}$ на сфере ${\displaystyle S_{2}}$ трёхмерного пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ допускает спектральное разложение вида

${\displaystyle X(\theta ,\varphi )=\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}Y_{l,m}(\theta ,\varphi )Z_{l,m}}$ (4)

где

${\displaystyle Y_{l,m}=e^{-im\varphi }P_{l}^{m}(\cos \theta )}$

– обычные сферические функции, а случайные величины ${\displaystyle Z_{l,m}}$ таковы, что ${\displaystyle {\mathsf {E}}Z_{l,m}{\bar {Z}}_{j,n}=\delta _{lj}\delta _{mn}f_{l}}$, где ${\displaystyle \delta _{lj}}$ – символ Кронекера. Отвечающее формуле (4) выражение для корреляционной функции

${\displaystyle {\mathsf {E}}X\left(\theta _{1},\varphi _{1}\right){\overline {X\left(\theta _{2},\varphi _{2}\right)}}=B\left(\theta _{12}\right)}$,

где ${\displaystyle \theta _{12}}$ – угловое расстояние между точками ${\displaystyle \left(\theta _{1},\varphi _{1}\right)}$ и ${\displaystyle \left(\theta _{2},\varphi _{2}\right)}$, имеет вид

${\displaystyle B(\theta )=\sum _{l=0}^{\infty }[(2l+1)/2]f_{l}P_{l}(\cos \theta )}$,

где ${\displaystyle P_{l}}$ – многочлены Лежандра. Если же ${\displaystyle X(r,\varphi )}$, где ${\displaystyle (r,\varphi )}$ – полярные координаты, – однородное и изотропное поле на плоскости ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ [так что ${\displaystyle {\mathsf {E}}X\left(r_{1},\varphi _{1}\right){\overline {X\left(r_{2},\varphi _{2}\right)}}=B\left(r_{12}\right)}$, где ${\displaystyle r_{12}}$ – евклидово расстояние между точками ${\displaystyle \left(r_{1},\varphi _{1}\right)}$ и ${\displaystyle \left(r_{2},\varphi _{2}\right)}$], то спектральное разложение поля ${\displaystyle X(r,\varphi )}$ записывается в виде

${\displaystyle X(r,\varphi )=\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{ik\varphi }\int _{0}^{\infty }J_{k}(\lambda r)dZ_{k}(\lambda )}$ (5),

где ${\displaystyle J_{k}(x)}$ – функция Бесселя порядка ${\displaystyle k}$. Здесь ${\displaystyle Z_{k}(\lambda )}$ – случайные функции с некоррелированными приращениями такие, что

${\displaystyle {\mathsf {E}}Z_{k}\left(\Delta _{1}\right){\overline {Z_{m}\left(\Delta _{2}\right)}}=\delta _{km}F\left(\Delta _{1}\cap \Delta _{2}\right)}$,

где

${\displaystyle Z_{k}(\Delta )=\int _{\Delta }dZ_{k}(\lambda )}$,

a ${\displaystyle F(\Delta )}$ – неотрицательная мера на полуоси ${\displaystyle [0,\infty )}$. Спектральному разложению (5) отвечает следующее выражение для корреляционной функции ${\displaystyle B(r)}$:

${\displaystyle B(r)=\int _{0}^{\infty }J_{0}(\lambda r)dr(\lambda )}$

(дальнейшие примеры спектральных разложений однородных полей см. в: Яглом. 1963; Xеннан. 1970; Ядренко. 1980^[8]).

Спектральные разложения случайных функций существуют не только для стационарных случайных процессов и однородных случайных полей. Так, например, если ${\displaystyle X(t)}$ – произвольный случайный процесс на интервале ${\displaystyle a\leqslant t\leqslant b}$ с непрерывной по обоим аргументам корреляционной функцией

${\displaystyle B(t,s)={\mathsf {E}}X(t){\overline {X(s)}}}$,

то в силу теоремы Мерсера теории интегральных уравнений и теоремы Карунена о спектральном разложении процесс ${\displaystyle X(t)}$ будет допускать спектральное разложение вида

${\displaystyle X(t)=\sum _{k=1}^{\infty }\varphi _{k}(t)Z_{k}/{\sqrt {\lambda _{k}}}}$ (6),

где ${\displaystyle \varphi _{k}(t)}$, ${\displaystyle k=1,2,\ldots }$, и ${\displaystyle \lambda _{k}}$, ${\displaystyle k=1,2,\ldots }$, – собственные функции и собственные значения интегрального оператора в функциональном пространстве с ядром ${\displaystyle B(t,s)}$, а ${\displaystyle {\mathsf {E}}Z_{k}{\bar {Z}}_{j}=\delta _{kj}}$. Спектральное разложение (6) случайного процесса ${\displaystyle X(t)}$, заданного на конечном интервале, представляет собой континуальный аналог разложения случайного вектора на его главные компоненты, часто используемого в многомерном статистическом анализе; оно было независимо получено целым рядом учёных (об этом см., например, Яглом. 1963) и чаще всего называется разложением Кaрунена – Лоэва. Подобного рода спектральные разложения широко используются также во многих приложениях, в частности в теории автоматического управления, где разложение (6) (и некоторые родственные ему разложения) часто называются каноническими представлениями случайных процессов (Пугачёв. 1962^[9]), и в геофизике, где обычно используется термин «метод эмпирических ортогональных функций», т. к. собственные функции ${\displaystyle \varphi _{k}(t)}$ здесь сами приближённо определяются по эмпирическим данным (Фортус. 1980).

2) Под спектральным разложением случайной функции ${\displaystyle X(t)}$, ${\displaystyle t\in T}$, иногда понимают также общее разложение вида (1) по некоторой стандартной (достаточно простой) полной системе функций ${\displaystyle \varphi (t;\lambda )}$. Особенно часто такое спектральное разложение рассматривается в применении к случайному процессу ${\displaystyle X(t)}$ с непрерывным временем и функциям ${\displaystyle \varphi (t;\lambda )=e^{it\lambda }}$, так что равенство (1) обращается в (2). Из (2) следует, что ${\displaystyle B(t,s)={\mathsf {E}}X(t){\overline {X(s)}}}$ допускает представление в виде

${\displaystyle B(t,s)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{i(\lambda t-\mu s)}F(d\lambda \times d\mu )}$ (7),

где ${\displaystyle F(d\lambda \times d\mu )}$ – комплекснозначная мера на плоскости ${\displaystyle (\lambda ,\mu )}$, задаваемая соотношением

${\displaystyle F\left(\Delta _{1},\Delta _{2}\right)=\mathrm {E} Z\left(\Delta _{1}\right){\overline {Z\left(\Delta _{2}\right)}}}$

обратно, из представимости ${\displaystyle B(t,s)}$ в виде (7) следует и существование спектрального разложения (2) (например, Розанов. 1959). Случайные процессы, допускающие спектральное разложение (2), где Z${\displaystyle (\lambda )}$ не обязательно имеет некоррелированные приращения, называются гармонизуемыми случайными процессами; комплексная мера ${\displaystyle F(d\lambda \times d\mu )}$ в таком случае называется спектральной мерой ${\displaystyle X(t)}$, а совокупность точек плоскости ${\displaystyle (\lambda ,\mu )}$, не имеющих окрестности нулевой спектральной меры, называется спектром процесса ${\displaystyle X(t)}$. Спектр стационарного процесса ${\displaystyle X(t)}$ сосредоточен на прямой ${\displaystyle \lambda =\mu }$. Гармонизуемыми при широких условиях будут и периодически-коррелированные (иначе, периодически-нестационарные) случайные процессы ${\displaystyle X(t)}$, обладающие тем свойством, что

${\displaystyle {\mathsf {E}}X(t+mT)={\mathsf {E}}X(t),}$
${\displaystyle mathsf{E}X(t+mT){\overline {X(s+mT)}}={\mathsf {E}}X(t){\overline {X(s)}}}$

при некотором ${\displaystyle T>0}$ и произвольном целом ${\displaystyle m}$; спектр таких процессов сосредоточен на совокупности прямых ${\displaystyle \lambda =\mu +2\pi k/T}$, ${\displaystyle k=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$ (например, Рытов. 1976^[10]).