Интегральный оператор

Интегра́льный опера́тор, отображение ${\displaystyle x\rightarrow Ax}$, когда закон соответствия ${\displaystyle A}$ задаётся с помощью интеграла. Интегральный оператор называется иногда интегральным преобразованием. Так, например, для интегрального оператора Урысона (см. уравнение Урысона): ${\displaystyle \varphi \rightarrow A\varphi }$ закон соответствия ${\displaystyle A}$ определяется интегралом (или оператор ${\displaystyle \varphi \rightarrow A\varphi }$ порождается интегралом)

${\displaystyle A\varphi (t)=\int _{D}P(t,\tau ,\varphi (\tau ))\,d\tau ,\quad t\in D,}$ (1)

причём ${\displaystyle D}$ – заданное измеримое множество конечной меры Лебега в конечномерном пространстве; ${\displaystyle P(t,\tau ,u)}$, ${\displaystyle t,\tau \in D}$, ${\displaystyle -\infty <u<\infty }$ – заданная измеримая функция. Предполагается, что функции ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle \varphi }$ удовлетворяют условиям, обеспечивающим существование интеграла в (1) в смысле Лебега. Если функция ${\displaystyle P(t,\tau ,u)}$ нелинейна относительно ${\displaystyle u}$, то (1) является примером нелинейного интегрального оператора. Если же ${\displaystyle P(t,\tau ,u)=K(t,\tau )u}$, тогда (1) принимает вид </u<\infty<></math>

${\displaystyle A\varphi (t)=\int _{D}K(t,\tau )\varphi (\tau )\,d\tau ,\quad t\in D.}$ (2)

Оператор, порождаемый интегралом (2), или просто оператор (2), называется линейным интегральным оператором, а функция ${\displaystyle K}$ – ядром интегрального оператора.

Ядро ${\displaystyle K}$ называется ядром Фредгольма, если оператор (2), соответствующий ядру ${\displaystyle K}$, действует вполне непрерывно из заданного функционального пространства ${\displaystyle E}$ в некоторое другое функциональное пространство ${\displaystyle E_{1}}$. В этом случае сам оператор (2) называется интегральным оператором Фредгольма из ${\displaystyle E}$ в ${\displaystyle E_{1}}$.

Линейные интегральные операторы часто рассматриваются в функциональных пространствах ${\displaystyle C(D)}$ – непрерывных на ограниченном замкнутом множестве ${\displaystyle D}$ функций и ${\displaystyle L_{p}(D)}$ – суммируемых на ${\displaystyle D}$ со степенью ${\displaystyle p}$ функций. В этом случае оператор (2) – оператор Фредгольма в ${\displaystyle C(D)}$ (т. е. из ${\displaystyle C(D)}$ в ${\displaystyle C(D))}$, если ${\displaystyle K}$ непрерывно на ${\displaystyle D\times D}$ (такое ядро называется непрерывным). Он является оператором Фредгольма в ${\displaystyle L_{2}(D)}$ (из ${\displaystyle L_{2}(D)}$ в ${\displaystyle L_{2}(D)}$), если ядро ${\displaystyle K}$ измеримо на ${\displaystyle D\times D}$ и

${\displaystyle \int _{D}\int _{D}\mid K(t,\tau )\mid ^{2}\,dt\,d\tau <\infty .}$ (3)

Такое ядро называется ${\displaystyle L_{2}}$-ядром.

Сопряжённый оператор к оператору (2) в комплексном функциональном пространстве ${\displaystyle L_{2}(D)}$ с ядром, удовлетворяющим условию (3), есть интегральный оператор

${\displaystyle A^{*}\varphi (t)=\int _{D}{\overline {K(\tau ,t)}}\varphi (\tau )\,d\tau ,\quad t\in D,}$ (4)

где черта означает переход к комплексно-сопряжённому значению. Если ядро ${\displaystyle K}$ эрмитово (симметрично) (т. е. ${\displaystyle {\overline {K(\tau ,t}})=K(t,\tau ))}$, то соответствующий оператор Фредгольма (2) совпадает со своим сопряжённым (4). Операторы, обладающие этим свойством, называются самосопряжёнными. Оператор Фредгольма с симметричным ядром называется интегральным оператором Гильберта–Шмидта.

Пусть ${\displaystyle \mid t-\tau \mid }$ обозначает расстояние между точками ${\displaystyle t}$ и ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle n}$-мерного евклидова пространства, ${\displaystyle B(t,\tau )}$ – ограниченная измеримая функция на ${\displaystyle D\times D}$, тогда ядро вида

${\displaystyle K(t,\tau )={\frac {B(t,\tau )}{\mid t-\tau \mid ^{m}}},\quad 0<m<n,}$ (5)

называется ядром типа потенциала, а интегральный оператор (2) с таким ядром – интегральным оператором типа потенциала; ядро (5) называется также полярным ядром, или ядром co слабой особенностью, а соответствующий оператор (2) – интегральным оператором co слабой особенностью.

Если функция ${\displaystyle B(t,\tau )}$ непрерывна на ${\displaystyle D\times D}$, то интегральный оператор со слабой особенностью вполне непрерывен в пространстве ${\displaystyle C(D)}$, а если ${\displaystyle B(t,\tau )}$ – измеримая ограниченная функция на ${\displaystyle D\times D}$, то он вполне непрерывен в пространстве ${\displaystyle L_{2}(D)}$.

Если ядро ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle m}$-мерное множество ${\displaystyle D}$ таковы, что интеграл (2) не существует в смысле Лебега, но существует в смысле главного значения по Коши, то он называется ${\displaystyle m}$-мерным сингулярным интегралом. Оператор, который им порождается, называется ${\displaystyle m}$-мерным сингулярным интегральным оператором, или одномерным (при ${\displaystyle m=1}$ ) и многомерным (при ${\displaystyle m>1}$ ) сингулярным интегральным оператором.

Если линия ${\displaystyle D}$ лежит на плоскости комплексного переменного ${\displaystyle t}$, то равенство

${\displaystyle A\varphi (t)=\int _{D}{\frac {\varphi (\tau )}{\tau -t}}\,d\tau ,\quad t\in D,}$ (6)

где интеграл понимается в смысле главного значения по Коши, порождает непрерывный интегральный оператор ${\displaystyle \varphi \rightarrow A\varphi }$ в пространстве функций, удовлетворяющих условию Гёльдера, если ${\displaystyle D}$ – простая замкнутая гладкая линия; и в пространстве ${\displaystyle L_{p}(D)}$, ${\displaystyle 1<p<\infty }$, если ${\displaystyle D}$ – ляпуновская линия. Оператор (6) называется сингулярным оператором Коши.

Пусть на действительной оси заданы две измеримые по Лебегу функции ${\displaystyle \varphi }$ и ${\displaystyle g}$. Если для почти всех ${\displaystyle t\in ]-\infty ,\infty [}$ существует интеграл

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\mid \varphi (\tau )\mid \mid g(\tau -t)\mid \,d\tau }$,

то можно определить функцию

${\displaystyle (g*\varphi )(t)=\int _{-\infty }^{\infty }g(\tau -t)\varphi (\tau )\,d\tau ,}$ (7)

которая называется свёрткой функций ${\displaystyle g}$ и ${\displaystyle \varphi }$. Если зафиксировать функцию ${\displaystyle g}$, то интеграл (7) определяет оператор

${\displaystyle T\varphi (t)=(g*\varphi )(t),}$ (8)

который называется интегральным оператором (или интегральным преобразованием) свёртки с ядром ${\displaystyle g}$. Если ${\displaystyle g\in L_{r}(-\infty ,\infty )}$, ${\displaystyle 1\leqslant p,q,r\leqslant \infty }$ и ${\displaystyle {\frac {1}{p}}-{\frac {1}{q}}={\frac {1}{r}}-1}$, то оператор (8) непрерывен из ${\displaystyle L_{q}(-\infty ,\infty )}$ в ${\displaystyle I_{p}(-\infty ,\infty )}$. При соответствующих предположениях интегральный оператор свёртки применяется как на полупрямой, так и на конечном отрезке.

Кроме указанных выше интегральных операторов, исследованы конкретные классы интегральных операторов, например интегральные преобразования Фурье, Лапласа, Бесселя, Меллина, Гильберта и др.