Корреляционная функция действительного случайного процесса

Корреляцио́нная фу́нкция действи́тельного случа́йного проце́сса ${\displaystyle \left\{X(t);t\in T\right\}}$, функция аргументов ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle s\in T}$, определяемая равенством

${\displaystyle B(t,s)={\mathsf {E}}[X(t)-{\mathsf {E}}X(t)][X(s)-{\mathsf {E}}X(s)]}$.

Здесь функция ${\displaystyle {\mathsf {E}}X(t)}$ – математическое ожидание случайного процесса ${\displaystyle X(t)}$. Для того чтобы корреляционная функция была определена, следует предположить, что процесс ${\displaystyle X(t)}$ при всех ${\displaystyle t\in T}$ имеет конечный второй момент ${\displaystyle {\mathsf {E}}X(t)^{2}}$. Параметр ${\displaystyle t}$ пробегает здесь некоторое подмножество ${\displaystyle T}$ действительной прямой и обычно интерпретируется как «время», однако совершенно аналогично определяется корреляционная функция случайной функции, заданной на множестве произвольной природы, в частности корреляционная функция случайного поля, когда ${\displaystyle T}$ – подмножество конечномерного пространства.

Если ${\displaystyle X(t)=\left[X_{1}(t),\ldots ,X_{n}(t)\right]}$ – многомерный случайный процесс (многомерная случайная функция), то его корреляционной функцией называется матричнозначная функция

${\displaystyle B(t,s)=\left\|B_{ij}(t,s)\right\|_{i,j=1}^{n}}$,

где

${\displaystyle B_{ij}(t,s)={\mathsf {E}}\left[X_{i}(t)-{\mathsf {E}}X_{i}(t)\right]\left[X_{j}(s)-{\mathsf {E}}X_{j}(s)\right]}$

– взаимная корреляционная функция процессов ${\displaystyle X_{i}(t)}$, ${\displaystyle X_{j}(t)}$.

Корреляционная функция является важной характеристикой случайного процесса. Если ${\displaystyle X(t)}$ – гауссовский процесс, то его среднее значение ${\displaystyle {\mathsf {E}}X(t)}$ и корреляционная функция ${\displaystyle B(t,s)}$ (первый и второй моменты) однозначно определяют конечномерные распределения, а значит и процесс в целом. В общем случае первых двух моментов заведомо недостаточно для полного описания случайного процесса. Например, одинаковую корреляционную функцию ${\displaystyle B(t,s)=e^{-a|t-s|}}$ имеют гауссовский марковский стационарный процесс, траектории которого непрерывны, и телеграфный сигнал – точечный марковский стационарный процесс, принимающий два значения ${\displaystyle \pm 1}$. Однако корреляционная функция определяет ряд важных свойств процесса: свойства второго порядка (т. е. выражающиеся в терминах вторых моментов). В силу этого, а также благодаря своей относительной простоте, корреляционные методы широко используются как в теории случайных процессов, так и в её статистических приложениях (коррелограмма).

Скорость и характер убывания корреляций при ${\displaystyle |t-s|\rightarrow \infty }$ дают представление об эргодических свойствах процесса. Условия на скорость убывания корреляций в той или иной форме присутствуют в предельных теоремах для случайных процессов. Локальные свойства второго порядка, такие как среднеквадратичные непрерывность, дифференцируемость, дают полезную, хотя и весьма грубую характеристику локального поведения процесса. Исследование свойств траекторий в терминах корреляционных функций с большой полнотой проведено в гауссовском случае (выборочная функция). Одним из наиболее завершённых разделов теории случайных процессов является теория линейной экстраполяции и фильтрации, позволяющая находить оптимальные линейные алгоритмы прогноза и аппроксимации случайных процессов, основываясь на знании корреляционных функций.

Характеристическим свойством корреляционной функции является положительная определённость:

${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}c_{i}{\overline {c}}_{j}B\left(t_{i},t_{j}\right)\geqslant 0}$

для любого ${\displaystyle n}$, любых комплексных ${\displaystyle c_{i},\ldots ,c_{n}}$ и любых ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}\in T}$. В наиболее важном случае стационарного в широком смысле процесса ${\displaystyle B(t,s)}$ зависит от разности аргументов: ${\displaystyle B(t,s)=R(t-s)}$. Условие положительной определённости принимает тогда вид

${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}c_{i}{\overline {c}}_{j}R\left(t_{i}-t_{j}\right)\geqslant 0}$.

Если ${\displaystyle R(t)}$ дополнительно непрерывна при ${\displaystyle t=0}$ (что соответствует среднеквадратичной непрерывности процесса ${\displaystyle X(t)}$), то

${\displaystyle R(t)=\int e^{it\lambda }F(d\lambda )}$,

где ${\displaystyle F(d\lambda )}$ – положительная конечная мера; здесь ${\displaystyle \lambda }$ пробегает всю действительную прямую, если ${\displaystyle T=(-\infty ,\infty )}$ (случай «непрерывного времени»), или отрезок ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$, если ${\displaystyle T=\{\ldots ,-1,0,1,\ldots \}}$ (случай «дискретного времени»). Мера ${\displaystyle F(d\lambda )}$ называется спектральной мерой случайного процесса. Таким образом, корреляционные и спектральные свойства стационарного случайного процесса оказываются тесно связанными; например, скорость убывания корреляций при ${\displaystyle t\rightarrow \infty }$ соответствует степени гладкости спектральной плотности ${\displaystyle f(\lambda )=F(d\lambda )/d\lambda }$.

В статистической механике корреляционной функцией называется также совместная плотность вероятности ${\displaystyle \rho \left(x_{1},\ldots ,x_{m}\right)}$ нахождения ${\displaystyle m}$ различных частиц рассматриваемой системы в точках ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{m}}$; совокупность этих функций однозначно определяет соответствующее точечное случайное поле.