Стационарный случайный процесс

Стациона́рный случа́йный проце́сс (от лат. stationarius – неподвижный),случайный процесс, вероятностные характеристики которого не меняются с течением времени. Например, если ${\displaystyle X(t)}$, ${\displaystyle t}$ – время, является стационарным случайным процессом, то распределение вероятностей случайной величины ${\displaystyle X(t)}$ одно и то же при всех ${\displaystyle t}$, совместное распределение вероятностей случайных величин ${\displaystyle X(t)}$ и ${\displaystyle X(t+s)}$ не зависит от ${\displaystyle t}$ и т. д. В теории стационарных случайных процессов основную роль играют моменты распределения вероятностей значений процесса ${\displaystyle X(t)}$ и особенно моменты первых двух порядков: среднее значение стационарного случайного процесса ${\displaystyle {\mathsf {E}}X(t)=m}$ и корреляционная функция стационарных случайного процесса ${\displaystyle {\mathsf {E}}X(t)X(t+s)=B(s)}$. Во многих исследованиях изучаются только те свойства стационарных случайных процессов, которые полностью определяются одними лишь характеристиками ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle B(s)}$ (т. н. корреляционная теория или теория второго порядка стационарных случайных процессов). В этой связи случайные процессы ${\displaystyle X(t)}$, для которых ${\displaystyle {\mathsf {E}}X(t)}$ и ${\displaystyle {\mathsf {E}}X(t)X(t+s)}$ не зависят от значения ${\displaystyle t}$, часто называются стационарными случайными процессами в широком смысле; в таком случае стационарные случайные процессы, определённые выше, все вероятностные характеристики которых не меняются со временем, называются стационарными случайными процессами в узком смысле.

Большое внимание в теории стационарных случайных процессов уделяется спектральным рассмотрениям, опирающимся на разложение стационарного случайного процесса ${\displaystyle X(t)}$ и его корреляционной функции ${\displaystyle B(s)}$ в интеграл Фурье или Фурье – Стилтьеса. Основную роль при этом играет теорема Хинчина, согласно которой корреляционная функция стационарного случайного процесса ${\displaystyle X(t)}$ может быть представлена в виде интеграла Фурье – Стилтьеса

${\displaystyle B(s)=\int \limits _{\infty }^{-\infty }e^{is\lambda }\,dF(\lambda ),}$ (1)

где ${\displaystyle F(\lambda )}$ – ограниченная неубывающая функция. Если ${\displaystyle B(s)}$ достаточно быстро убывает при ${\displaystyle \left|s\right|\to \infty }$ [как это чаще всего бывает в приложениях при условии, что под ${\displaystyle X(t)}$ понимается разность ${\displaystyle X(t)-m}$], то интеграл в правой части (1) становится обычным интегралом Фурье

${\displaystyle \displaystyle B(s)=\int \limits _{\infty }^{-\infty }e^{is\lambda }f(\lambda )\,d\lambda ,}$

где ${\displaystyle f(\lambda )=F^{\prime }(\lambda )}$ – неотрицательная функция. Функция ${\displaystyle F(\lambda )}$ называется спектральной функцией стационарного случайного процесса ${\displaystyle X(t)}$, а функция ${\displaystyle f(\lambda )}$ – его спектральной плотностью. Сам процесс ${\displaystyle X(t)}$ допускает спектральное разложение

${\displaystyle X(t)=\int \limits _{\infty }^{-\infty }e^{is\lambda }\,dZ(\lambda ),}$ (2)

где ${\displaystyle Z(\lambda )}$ – случайная функция с некоррелированными приращениями. Разложение (2) даёт основание рассматривать любой стационарный случайный процесс ${\displaystyle X(t)}$ как наложение некоррелированных друг с другом гармоническим колебаний различных частот со случайными амплитудами и фазами. При этом спектральная функция ${\displaystyle F(\lambda )}$ и спектральная плотность ${\displaystyle f(\lambda )}$ определяют распределение энергии входящих в ${\displaystyle X(t)}$ гармонических колебаний по спектру частот ${\displaystyle \lambda }$, в связи с чем в прикладных исследованиях функция ${\displaystyle f(\lambda )}$ называется также спектром мощности (или спектром энергии) стационарного случайного процесса ${\displaystyle X(t)}$.

Понятие «стационарный случайный процесс» было введено Е. Е. Слуцким и А. Я. Хинчиным в конце 1920-х – начале 1930-х гг., которые получили первые результаты в теории стационарных случайных процессов.