Однородное случайное поле

Одноро́дное случа́йное по́ле, случайное поле ${\displaystyle X(s)}$, заданное на однородном пространстве ${\displaystyle S=\{s\}}$ точек ${\displaystyle s}$, снабжённом транзитивной группой ${\displaystyle G=\{g\}}$ преобразований, переводящих пространство ${\displaystyle S}$ в себя, и обладающее тем свойством, что определённые статистические характеристики значений этого поля не меняются при применении к аргументам ${\displaystyle s}$ произвольного преобразования группы ${\displaystyle G}$. Различают 2 разных класса однородных случайных полей: поле ${\displaystyle X(s)}$ называется однородным случайным полем, если при любых ${\displaystyle n=1,2,\ldots }$ и ${\displaystyle g\in G}$ конечномерное распределение вероятностей значений поля в произвольных ${\displaystyle n}$ точках ${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{n}}$ совпадает с распределением вероятностей значений того же поля в точках ${\displaystyle gs_{1},\ldots ,gs_{n}}$; если же ${\displaystyle {\mathsf {E}}|X(s)|^{2}<\infty }$ и ${\displaystyle {\mathsf {E}}X(s)={\mathsf {E}}X(gs)}$, ${\displaystyle \mathrm {E} X(s){\mathsf {E}}{\overline {X\left(s_{1}\right)}}={\mathsf {E}}X(gs){\overline {X(gs)}}}$ при всех ${\displaystyle s\in S}$, ${\displaystyle s_{1}\in S}$ и ${\displaystyle g\in G}$, то ${\displaystyle X(s)}$ называется однородным случайным полем в широком смысле.

Важный частный случай – однородного случайного поля на евклидовом ${\displaystyle k}$-мерном пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ (или на решётке ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{k}}$ точек ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ с целочисленными координатами), отвечающего выбору группы всевозможных параллельных переносов в качестве группы ${\displaystyle G}$; иногда под однородным случайным полем вообще понимают лишь поле этого последнего типа. Однородное случайное поле на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$, отвечающее группе ${\displaystyle G}$ всевозможных изометрических преобразований ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ (порождённых параллельными переносами, вращениями и симметриями), часто называют однородным и изотропным случайным полем.

Понятие однородного случайного поля представляет собой естественное обобщение понятия стационарного случайного процесса; как и в случае стационарного процесса, и само однородное случайное поле, и его ковариационная функция допускают спектральное разложение специального вида. Однородное случайное поле и некоторые их обобщения часто возникают в различных прикладных вопросах. В частности, в статистической теории турбулентности важную роль играют как однородные и изотропные случайные поля на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ (скалярные и векторные), так и т. н. локально однородные и локально изотропные случайные поля (иначе – поля с однородными и изотропными приращениями), представляющие собой простое обобщение однородных и изотропных полей, а в современной теории физических квантовых полей и в статистической физике применяется теория обобщённых однородных случайных полей, также включающих однородные случайные в качестве частного случая (см. в статье Обобщённое случайное поле).