Финитная функция

Фини́тная фу́нкция, функция, определённая в некоторой области пространства ${\displaystyle E^{n}}$ и имеющая принадлежащий к этой области компактный носитель. Точнее, пусть функция ${\displaystyle f(x)=f\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)}$ определена на области ${\displaystyle \Omega \subset E^{n}}$. Носителем ${\displaystyle f}$ называется замыкание множества точек ${\displaystyle x\in \Omega }$, для которых ${\displaystyle f(x)}$ отлично от нуля (${\displaystyle f(x)\neq 0}$). Таким образом, можно ещё сказать, что финитная функция в ${\displaystyle \Omega }$ есть такая определённая на ${\displaystyle \Omega }$ функция, что её носитель ${\displaystyle \Lambda }$ есть замкнутое ограниченное множество, отстоящее от границы ${\displaystyle \Gamma }$ области ${\displaystyle \Omega }$ на расстояние, большее, чем ${\displaystyle \delta >0}$, где ${\displaystyle \delta }$ достаточно мало.

Обычно рассматривают непрерывно дифференцируемые ${\displaystyle k}$ раз финитные функции, где ${\displaystyle k}$ – заданное натуральное число. Ещё чаще рассматривают бесконечно дифференцируемые финитные функции. Функция

${\displaystyle \psi (x)={\begin{cases}e^{-1/(x^{2}-1)},&\mid x\mid <1,\quad x^{2}=\sum _{j=1}^{n}x_{j}^{2},\\0,&\mid x\mid \geqslant 1,\end{cases}}}$

может служить примером бесконечно дифференцируемой финитной функции в области ${\displaystyle \Omega }$, содержащей в себе шар ${\displaystyle \mid x\mid \leqslant 1}$. Множество всех бесконечно дифференцируемых финитных функций в области ${\displaystyle \Omega \subset E^{n}}$ обозначают ${\displaystyle D}$. Над ${\displaystyle D}$ определяют линейные функционалы (обобщённые функции). При помощи функций ${\displaystyle v\in D}$ определяют обобщённые peшения краевых задач.

B теоремах, посвящённых задачам на нахождение обобщённых решений, часто важно знать, является ли пространство ${\displaystyle D}$ плотным в некотором конкретно заданном пространстве функций. Известно, например, что если граница ${\displaystyle \Gamma }$ ограниченной области ${\displaystyle \Omega \subset E^{n}}$ достаточно гладкая, то ${\displaystyle D}$ плотно в пространстве функций

${\displaystyle {\overset {0}{W}}{}_{p}^{r}(\Omega )=\left\{f\in W_{p}^{r}(\Omega )\mid {\frac {\partial ^{s}f}{\partial n^{s}}}\mid _{\Gamma }=0,\quad s=0,1,\ldots ,r-1\right\}}$,

(${\displaystyle 1\leqslant p<\infty }$), т. е. в пространстве функций класса ${\displaystyle W_{p}^{r}(\Omega )}$ Соболева, равных нулю на ${\displaystyle \Gamma }$ вместе со своими нормальными производными до порядка ${\displaystyle r-1}$ включительно (${\displaystyle r=1,2,\ldots }$).