Символ Кронекера

Си́мвол Кро́некера, величина определяемая равенствами

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{j}^{i}={\begin{cases}1,{\text{ если }}i=j,\\0,{\text{ если }}i\neq j,\end{cases}}\ \ \ i,j=1,2,\dots \end{aligned}}}$

При ${\displaystyle 1\leqslant i,j\leqslant n}$ символ Кронекера ${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$ имеет ${\displaystyle n^{2}}$ компонент, матрица которых ${\displaystyle \|\delta _{j}^{i}\|}$ является единичной. Символ Кронекера введён Л. Кронекером (L. Kronecker, 1866).

Обобщением символа Кронекера является совокупность величин ${\displaystyle \delta _{j_{1},j_{1},\dots j_{p}}^{i_{1},i_{1},\dots i_{p}}}$, имеющих ${\displaystyle 2p}$ целых (верхних и нижних) индексов, ${\displaystyle i_{\alpha },i_{\beta }=1,2,\dots ,n}$, равных ${\displaystyle +1}$ (или ${\displaystyle -1}$), если строка индексов ${\displaystyle (i_{1},i_{2},\ldots ,i_{p})}$ – чётная (нечётная) перестановка строки различных индексов (${\displaystyle j_{1},j_{2},\dots ,j_{p}}$), и нулю – во всех остальных случаях. Числа ${\displaystyle \delta _{j_{1},j_{1},\dots j_{p}}^{i_{1},i_{1},\dots i_{p}}}$ (часто обозначаемые при ${\displaystyle p>2}$ через ${\displaystyle \varepsilon _{j_{1},j_{1},\dots j_{p}}^{i_{1},i_{1},\dots i_{p}}}$) называются компонентами символа Кронекера. Аффинный тензор типа ${\displaystyle (p,p)}$, имеющий в некотором базисе компоненты, равные компонентам символа Кронекера, имеет те же самые компоненты в любом другом базисе. Символ Кронекера удобен в различных задачах тензорного исчисления. Например, определитель

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\begin{array}{cccc}a_{1}^{1}&a_{2}^{1}&\dots &a_{n}^{1}\\a_{1}^{1}&a_{2}^{1}&\dots &a_{n}^{1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{1}^{n}&a_{2}^{n}&\dots &a_{n}^{n}\\\end{array}}\right|\end{aligned}}}$

равен сумме

${\displaystyle \sum \limits _{i}\displaystyle \delta _{12\dots n}^{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}a_{i_{1}}^{1}a_{i_{2}}^{2}\dots a_{i_{n}}^{n}}$,

в которой суммирование производится по всем ${\displaystyle n!}$ перестановкам чисел ${\displaystyle 1,2,\dots ,n}$. Операция альтернирования тензора ${\displaystyle \left\{a^{\alpha _{1}\dots \alpha _{p}},1\leqslant \alpha _{j}\leqslant n\right\}}$ имеет вид

${\displaystyle a^{[\alpha _{1}\dots \alpha _{p}]}={\dfrac {1}{p!}}\sum \limits _{i}\delta _{i_{1}\dots i_{p}}^{\alpha _{1}\dots \alpha _{p}}a^{i_{1}\dots i_{p}}}$.