Целая функция

Це́лая фу́нкция, функция комплексного переменного ${\displaystyle z}$, представимая степенным рядом, сходящимся во всей конечной комплексной плоскости; иначе говоря, аналитическая функция комплексного переменного ${\displaystyle z}$, не имеющая конечных особых точек. Бесконечно удалённая точка ${\displaystyle z=\infty }$ – изолированная особая точка целой функции ${\displaystyle f(z)}$. Если ${\displaystyle z=\infty }$ – устранимая особая точка, то ${\displaystyle f(z)}$ является постоянной. Если ${\displaystyle z=\infty }$ – полюс для целой функции ${\displaystyle f(z)}$, то ${\displaystyle f(z)}$ – многочлен. Если ${\displaystyle z=\infty }$ – существенно особая точка целой функции ${\displaystyle f(z)}$, то ${\displaystyle f(z)}$ есть трансцендентная целая функция, таковы, например, ${\displaystyle \sin z}$, ${\displaystyle \cos z}$, ${\displaystyle e^{z}}$.

Для того чтобы ${\displaystyle f(z)}$ была целой функцией, необходимо и достаточно, чтобы для некоторой точки ${\displaystyle z_{0}}$ выполнялось соотношение

${\displaystyle \lim _{n->\infty }{\sqrt[{n}]{\frac {\mid f^{(n)}(z_{0})\mid }{n!}}}=0}$.

При этом ${\displaystyle f(z)}$ разлагается в ряд Тейлора

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(z-z_{0})}{n!}}(z-z_{0})^{n}}$,

который сходится при любом ${\displaystyle z}$. Целую функцию можно представить в виде бесконечного произведения, соответствующего её нулям.

Основой классификации трансцендентных целых функций служит скорость роста максимума модуля

${\displaystyle M(r)=\max _{\mid z\mid =r}\mid f(z)\mid }$

целой функции ${\displaystyle f(z)}$ на окружности ${\displaystyle \mid z\mid =r}$ при ${\displaystyle {\ce {r->\infty }}}$. Величина

${\displaystyle \rho =\lim _{r->\infty }{\frac {\ln \ln M(r)}{\ln r}}}$

называется порядком целой функции ${\displaystyle f(z)}$. Важнейшим вопросом в теории целых функций является установление связей между характером роста целой функции и распределением её нулей.