Собственное значение

Со́бственное значе́ние оператора (преобразования) ${\displaystyle {\rm {A}}}$ векторного пространства ${\displaystyle L}$ над полем ${\displaystyle k}$, элемент ${\displaystyle \lambda \in k}$ такой, что существует ненулевой вектор ${\displaystyle x\in L}$, удовлетворяющий условию

${\displaystyle {\rm {A}}x=\lambda x}$.

Вектор ${\displaystyle x}$ в этом равенстве называется собственным вектором оператора ${\displaystyle {\rm {A}}}$, принадлежащим собственному значению ${\displaystyle \lambda }$. В случае, когда оператор ${\displaystyle {\rm {A}}}$ линеен, собственное значение – это такой элемент ${\displaystyle \lambda \in k}$, что оператор ${\displaystyle {\rm {A}}-\lambda {\rm {I}}}$ (где ${\displaystyle {\rm {I}}}$ – тождественный оператор) не инъективен. Если пространство ${\displaystyle L}$ конечномерно, то собственные значения совпадают с корнями характеристического многочлена ${\displaystyle {\rm {det}}\,}$
${\displaystyle midA-\lambda E}$
${\displaystyle mid}$ (из поля ${\displaystyle k}$), где ${\displaystyle A}$ – матрица линейного преобразования ${\displaystyle {\rm {A}}}$ в некотором базисе, а ${\displaystyle E}$ – единичная матрица. Кратность собственного значения как корня этого многочлена называется алгебраической кратностью. Для любого линейного преобразования конечномерного пространства над алгебраически замкнутым полем ${\displaystyle k}$ множество собственных значений непусто. Оба условия – конечномерность и алгебраическая замкнутость – существенны. Например, поворот евклидовой плоскости (${\displaystyle k=\mathbb {R} }$) на любой угол, не кратный ${\displaystyle \pi }$, не имеет собственных значений. С другой стороны, для оператора в гильбертовом пространстве, сопряжённого сдвигу, каждое число из открытого единичного круга – собственное значение.

Совокупность всех собственных значений линейного преобразования конечномерного пространства называется спектром линейного преобразования. Линейное преобразование ${\displaystyle n}$-мерного пространства диагонализируемо (т. е. существует базис, в котором матрица преобразования диагональна) тогда и только тогда, когда алгебраическая кратность каждого собственного значения равна его геометрической кратности – размерности собственного подпространства, соответствующего данному собственному значению. В частности, для диагонализируемости линейного преобразования достаточно, чтобы оно имело ${\displaystyle n}$ различных собственных значений.

Собственное значение квадратной матрицы ${\displaystyle A}$ над полем ${\displaystyle k}$ (или характеристический корень) – корень её характеристического многочлена.