Покрытие множества

Покры́тие мно́жества ${\displaystyle X}$, семейство подмножеств этого множества, объединение которых есть ${\displaystyle X}$, или семейство подмножеств пространства, в котором расположено ${\displaystyle X}$ и которое содержит ${\displaystyle X}$.

В теории топологических пространств естественно рассматривать открытые покрытия, т. е. покрытия, все элементы которых являются открытыми множествами. Значение открытых покрытий обусловлено тем, что их элементы несут в себе полную информацию о локальном строении пространства, а свойства покрытий в целом отражают существенно глобальную характеристику пространств. Так, на языке покрытия определяется размерность по Лебегу нормального пространства: она не превосходит натурального числа ${\displaystyle n}$, если в любое конечное покрытие можно вписать открытое покрытие, кратность которого (т. е. число элементов покрытия, содержащих данную точку) не превосходит ${\displaystyle n}$. Возможность в любое открытое покрытие вписать конечное открытое покрытие характеризует компактные пространства; среди ограничений на покрытие, связанных не с характером элементов, а с их расположением, чаще других встречается локальная конечность: у каждой точки есть окрестность, пересекающаяся с конечным числом элементов покрытия.