Фундаментальная последовательность

Фундамента́льная после́довательность (последовательность Коши, сходящаяся в себе последовательность), последовательность ${\displaystyle {x_{n}}}$, ${\displaystyle n\geqslant 1}$, удовлетворяющая условию Коши: для любого ${\displaystyle \epsilon >0}$ существует такое ${\displaystyle N}$, что для всех ${\displaystyle n>N,m>N}$ выполняется неравенство ${\displaystyle \mid x_{n}-x_{m}\mid <\epsilon }$. Здесь элементы последовательности ${\displaystyle {x_{n}},n\geqslant 1}$, – действительные или комплексные числа либо точки метрического пространства, ${\displaystyle \mid x_{n}-x_{m}\mid }$ – расстояние между точками ${\displaystyle x_{n}}$ и ${\displaystyle x_{m}}$.

Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной последовательностью. Пространство, в котором верно обратное утверждение (всякая фундаментальная последовательность имеет предел), называется полным. Например, евклидово пространство является полным. Множество рациональных чисел не обладает свойством полноты. Например, последовательность ${\displaystyle {r_{n}},n\geqslant 1}$, десятичных приближений числа ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ является фундаментальной последовательностью, но не имеет предела в множестве рациональных чисел.

В определении фундаментальной последовательности ${\displaystyle {x_{n}},n\geqslant 1}$, элементов нормированного пространства вместо ${\displaystyle \mid x_{n}-x_{m}\mid }$ употребляется ${\displaystyle \mid \mid x_{n}-x_{m}\mid \mid }$, где ${\displaystyle \mid \mid \cdot \mid \mid }$ означает норму в этом пространстве. Полное нормированное пространство называется банаховым пространством. Любое нормированное пространство можно пополнить до банахова.