Звезда́ элеме́нта фу́нкции (звезда Миттаг-Леффлера), звездообразная область, в которую данный элемент

$$f(z)=\sum_{k=0}^\infty c_k(z-a)^k$$аналитической функции может быть аналитически продолжен по лучам, выходящим из его центра $a$. Звезда элемента функции состоит из тех точек комплексной плоскости $z$, которых можно достичь, аналитически продолжая элемент $f(z)$ в виде степенного ряда вдоль всевозможных лучей, исходящих из центра элемента $a$. Если при продолжении элемента вдоль данного луча $z=a+re^{i\varphi}$, $0\leqslant r<+\infty$, нельзя достичь произвольной точки этого луча, то на луче найдётся точка $z_1\neq a$ такая, что продолжение возможно до любой точки интервала $[a,z_1)$, но далее неосуществимо. Если продолжение возможно в любую точку луча, то полагают $z_1=\infty$. Совокупность точек, принадлежащих всем интервалам $[a, z_1)$, представляет собой (односвязную) звездообразную область относительно точки $a$ – это и есть звезда элемента функции $S_f$. В результате аналитического продолжения в $S_f$ получают регулярную аналитическую функцию $f(z)$, являющуюся однозначной ветвью в $S_f$ полной аналитической функции, порождаемой данным элементом.

Все точки границы $\partial S_f$ звезды элемента функции являются достижимыми граничными точками. В вопросах аналитического продолжения (см. также Мультипликационная теорема Адамара) различают также угловые, доступные и хорошо доступные точки границы $\partial S_f$. Точка $z_1\in\partial S_f$ называется угловой точкой границы звезды элемента функции, если она имеет наименьший модуль $|z_1|$ среди всех точек $\partial S_f$ с тем же аргументом $\arg z_1$. Точка $z_1\in\partial S_f$ называется доступной точкой границы звезды элемента функции, если существует полукруг $V(z_1)$ такой, что$f(z)$ регулярна всюду внутри $V(z_1)$ и в точках его диаметра, отличных от $z_1$. Точка $z_1\in\partial S_f$ называется хорошо доступной (или хорошо достижимой) точкой границы звезды элемента функции, если существует угол $V(z_1)$ с вершиной $z_1$, раствора больше $\pi$ и такой, что $f(z)$ регулярна в области $V(z_1)\cap\{z:|z–z_1|<\delta\}$ при достаточно малом $\delta>0$.

М. Г. Миттаг-Леффлер (Mittag-Leffler. 1900, ... seconde note. 1901, ... troisième note. 1901; 1902; 1905) показал, что регулярную функцию $f(z)$ в её звезде $S_f$ можно представить в виде равномерно сходящегося внутри $S_f$ ряда многочленов

$$\tag{*}f(z)=\sum_{n=0}^\infty\sum_{\nu=0}^{k_n}c_\nu^{(n)}\frac{f^{(\nu)}(a)}{\nu!}(z-a)^\nu.$$Формула (*) называется разложением Миттаг-Леффлера в звезде. Здесь степени многочленов $k_n$ и коэффициенты $c_0^{(n)},c_1^{(n)},\ldots,c_{k_n}^{(n)}$, $n=0, 1, \ldots$, не зависят от вида $f(z)$ и могут быть вычислены раз и навсегда. Такое вычисление было проделано П. Пенлеве (см. Вогеl. 1928; Маркушевич. 1968).