Условие Бланшара – Кана

Усло́вие Бланша́ра – Ка́на, условие существования и единственности решения системы динамических линейных стохастических уравнений. Первоначально условие Бланшара – Кана было сформулировано для математических моделей экономики, хотя математическая формулировка условия делает его универсальным. С условием Бланшара – Кана тесно связана теория рациональных ожиданий.

В каноническом виде динамическая система уравнений содержит два типа переменных – предетерминированные $X_t$ и непредетерминированные  (вперёдсмотрящие) $P_t$. Предетерминированные переменные характеризуются тем, что их значение в период времени $t+1$определяется значениями переменных до периода $t$ включительно, а информация, полученная в период $t+1$, не влияет на значение предетерминированных переменных в период $t+1$. Система уравнений в векторном виде записывается как:

 $\begin{pmatrix} X_{t+1}\\ E_tP_{t+1} \end{pmatrix}=A \begin{pmatrix} X_{t}\\ P_{t} \end{pmatrix} + \gamma Z_t$,

где $A$ – квадратная матрица, соответствующая суммарной размерности векторов $X_t$ и $P_t$; $E_t$ – оператор взятия математического ожидания по всем событиям начиная с периода $t+1$; $Z_t$ – вектор независимых переменных (экзогенных), $\gamma$ – матрица.

К системе уравнений данного вида сводятся многие экономические модели, в частности динамические стохастические модели общего равновесия. Нелинейные экономические модели могут сводиться к данному виду после линеаризации.

При формулировке условия Бланшара – Кана принято считать, что решением являются только такие траектории $X_t$, $P_t$, математические ожидания которых растут не быстрее определённого темпа, в частности не быстрее любой экспоненциальной функции. Именно в смысле ограничения темпа роста решение системы может не существовать. Поэтому неограниченное накопление какого-либо актива в модели приводит к нарушению условия Бланшара – Кана. В частности, выполнение условия Бланшара – Кана исключает возможность игры Понци.

Условие существования и единственности решения системы (при заданных начальных условиях на предетерминированные переменные $X_t$) заключается в равенстве числа вперёдсмотрящих переменных $P_t$ числу собственных значений матрицы $A$, превышающих по модулю единицу. Если число вперёдсмотрящих переменных ниже числа собственных значений матрицы $A$, превышающих по модулю единицу, то не существует решения, если выше – существует бесконечно много решений.

В структурных моделях экономики вперёдсмотрящие переменные, как правило, являются множителями Лагранжа к ограничениям оптимизационных задач экономических агентов и отражают теневые цены в экономике. Переменные, не относящиеся к вперёдсмотрящим, характеризуют материально существующие объекты: ВВП, занятость, капитал, денежные агрегаты и т. п. Поэтому в случае структурных моделей условие Бланшара – Кана может быть интерпретировано следующим образом с точки зрения теории обыкновенных дифференциальных уравнений: все переменные, характеризующие материальные объекты, должны быть устойчивы в прямом времени, а остальные переменные – устойчивыми в обратном времени. Это свойство в тематике математических моделей известно как условие седловой точки.

Если условие Бланшара – Кана выполняется, то решение является вперёдсмотрящим в том смысле, что вперёдсмотрящие переменные могут быть выражены только через текущие значения предетерминированных переменных и зависят от прошлого только в той мере, в какой предетерминированные переменные зависят от своих прошлых значений.