Научные теории, концепции, гипотезы, модели

Условие Бланшара – Кана

Усло́вие Бланша́ра – Ка́на, условие существования и единственности решения системы . Первоначально условие Бланшара – Кана было сформулировано для , хотя математическая формулировка условия делает его универсальным. С условием Бланшара – Кана тесно связана .

В каноническом виде динамическая система уравнений содержит два типа переменных – предетерминированные XtX_t и непредетерминированные  (вперёдсмотрящие) PtP_t. Предетерминированные переменные характеризуются тем, что их значение в период времени t+1t+1определяется значениями переменных до периода tt включительно, а информация, полученная в период t+1t+1, не влияет на значение предетерминированных переменных в период t+1t+1. Система уравнений в векторном виде записывается как:

 (Xt+1EtPt+1)=A(XtPt)+γZt\begin{pmatrix} X_{t+1}\\ E_tP_{t+1} \end{pmatrix}=A \begin{pmatrix} X_{t}\\ P_{t} \end{pmatrix} + \gamma Z_t,

где AA – квадратная матрица, соответствующая суммарной размерности векторов XtX_t и PtP_t; EtE_t – оператор взятия по всем событиям начиная с периода t+1t+1; ZtZ_t – вектор (экзогенных), γ\gamma – .

К системе уравнений данного вида сводятся многие экономические модели, в частности . Нелинейные экономические модели могут сводиться к данному виду после .

При формулировке условия Бланшара – Кана принято считать, что решением являются только такие XtX_t, PtP_t, математические ожидания которых растут не быстрее определённого темпа, в частности не быстрее любой . Именно в смысле ограничения темпа роста решение системы может не существовать. Поэтому неограниченное накопление какого-либо в модели приводит к нарушению условия Бланшара – Кана. В частности, выполнение условия Бланшара – Кана исключает возможность .

Условие существования и единственности решения системы (при заданных начальных условиях на предетерминированные переменные XtX_t) заключается в равенстве числа вперёдсмотрящих переменных PtP_t числу матрицы AA, превышающих по модулю единицу. Если число вперёдсмотрящих переменных ниже числа собственных значений матрицы AA, превышающих по модулю единицу, то не существует решения, если выше – существует бесконечно много решений.

В структурных моделях экономики вперёдсмотрящие переменные, как правило, являются к ограничениям оптимизационных задач экономических агентов и отражают в экономике. Переменные, не относящиеся к вперёдсмотрящим, характеризуют материально существующие объекты: , , , и т. п. Поэтому в случае структурных моделей условие Бланшара – Кана может быть интерпретировано следующим образом с точки зрения теории обыкновенных дифференциальных уравнений: все переменные, характеризующие материальные объекты, должны быть устойчивы в прямом времени, а остальные переменные – устойчивыми в обратном времени. Это свойство в тематике математических моделей известно как условие .

Если условие Бланшара – Кана выполняется, то решение является вперёдсмотрящим в том смысле, что вперёдсмотрящие переменные могут быть выражены только через текущие значения предетерминированных переменных и зависят от прошлого только в той мере, в какой предетерминированные переменные зависят от своих прошлых значений.

  • Экономико-математические методы
  • Макроэкономические модели
  • Макроэкономическая теория