Решётчатое распределе́ние, обобщение понятия распределения целочисленной случайной величины. Говорят, что невырожденное распределение вероятностей является решётчатым, если оно сосредоточено на некоторой арифметической прогрессии $D_{a,h}=\{a+kh:\,k=0, ±1, ±2, ...\}$, где $a$ – действительное, а $h$ – положительное (вырожденными называются распределения случайных величин, принимающих единственное численное значение). Это означает, что случайная величина $X$, имеющая решётчатое распределение может принимать только значения $a+kh$, $k=0, ±1, ±2, ...$, с вероятностями $p_k=\sf {P}\it \{X=a+kh\}⩾0$, $k=0, ±1, ±2, ...$. Некоторые из этих вероятностей могут быть нулевыми, сумма положительных вероятностей равна единице. Арифметические прогрессии на действительной оси иногда называются решётками, отсюда название «решётчатое распределение». Число $h$ называется шагом решётки $D_{a,h}$. Т. к. для любого натурального $m$ справедливо включение $D_{a,h}⊂D_{a,h/m}$, то решётки с минимальным шагом, на которой сосредоточено решётчатое распределение, не существует, однако существует и единственная решётка с максимальным шагом, шаг этой решётки называется шагом решётчатого распределения. В случае $a=0$, $h=1$ случайная величина $X$ является целочисленной.

Характеристическая функция решётчатого распределения с шагом $h$ есть

$$f(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} p_ke^{it(a+kh)}=e^{ita}\sum_{k=-\infty}^{\infty} p_ke^{itkh},$$

откуда следует, что функция $|f(t)|$ является периодической, с минимальным периодом $2π/h$. Т. к. для любой характеристической функции $f(0)=1$, то для решётчатого распределения с шагом $h$ справедливы равенства $|f(2πk/h)|=1, k=0, ± 1, ± 2, ...$. Свойство $|f(t)|=1$ для некоторого $t≠0$ является характеристическим: таковы характеристические функции решётчатого распределения, и только они. Формула обращения для решётчатого распределения имеет вид

$$p_k=\frac{h}{2π}\int_{-π/h}^{π/h} e^{-it(a+kh)} f(t)dt,\ \ \ \ k=0,±1,±2, ... .$$

Для случайных величин, имеющих решётчатое распределение справедлива локальная форма центральной предельной теоремы, которая проще всего формулируется для независимых, одинаково распределённых случайных величин $X_1$,$X_2$,... с нулевым средним и единичной дисперсией (два последних условия не ограничивают общности). Если общее распределение этих случайных величин является решётчатым с шагом $h$, то

$$\max\left| \frac{\sqrt{n}}{h}p_n (x) - φ(x)\right|→0\,\ \ \ \text{при}\ \ \,n→∞,$$ где

$$p_n(x)=\sf {P}\it \left\{ \frac{X_1+...+X_n}{\sqrt{n}}=x\right\},$$

$φ(x)=e^{-x^2/2}/\sqrt{2π}$ – плотность стандартного нормального распределения и максимум берётся по всем точкам решётки $\left\{ a_n+k\frac{h}{\sqrt{n}}:\, k=0,±1,±2,...\right\}$, $a_n=\sqrt{n}$, на которой сосредоточено распределение нормированной суммы $(X_1+...+X_n)/\sqrt{n}$.