Медиана

Медиа́на (от лат. mediana – срединная) в геометрии, отрезок, соединяющий одну из вершин треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которую иногда называют центром тяжести треугольника, т. к. именно в этой точке находится центр тяжести однородной треугольной пластинки (а также центр тяжести системы трёх равных масс, помещённых в вершинах треугольника). Точка пересечения медиан делит каждую из них в отношении 2 : 1 (считая от вершины к основанию).

Медиана в теории вероятностей – одна из характеристик распределения вероятностей случайной величины, иногда её называют серединным значением случайной величины. Медианой случайной величины $X$ называется число $m$ такое, что вероятности$P\{X ⩾ m\} ⩾ ^1/_2$ и $P\{X ⩽ m\} ⩾ ^1/_2$. Медиана существует всегда, но может быть не единственной; например, если случайная величина принимает значения –1 и +1 с вероятностями$^1/_2$ каждое, то медианой является любая точка из $^1/_2$отрезка [–1, 1]. Для случайной величины $X$ с непрерывной функцией распределения $F(x)$ медианой является корень уравнения $F(m)=^1/_2$ (т. е. $m$ – квантиль порядка $^1/_2$); таким образом, случайная величина $X$ принимает с вероятностью $^1/_2$ как значения, большие $m$, так и значения, меньшие $m$. Если функция $F(x)$ строго монотонна, то медиана единственна. В симметричном случае, т. е. в случае, когда для некоторого числа $a$ величины $X-a$ и $-(X-a)$ одинаково распределены, медиана, если она единственна, совпадает с математическим ожиданием, если оно существует, при этом $m=\mathbf{E}X=a$.

В математической статистике для оценки медианы какой-либо случайной величины по независимым результатам наблюдений $X_1,...,X_n$ используют медиану соответствующего вариационного ряда $X_{(1)},...,X_{(n)}$ (выборочную медиану): величину $X_{(k)}$, если $n=2k+1$ нечётное, или $(X_{(k)}+X_{(k+1)})/2$ если $n=2k$ чётное.