Теоре́мы продолже́ния, теоремы о продолжении функции с некоторого множества на более широкое таким образом, что продолженная функция обладает определёнными свойствами. К теоремам продолжения относятся прежде всего задачи об аналитическом продолжении функций.

Примером теоремы существования непрерывного продолжения непрерывной функции является теорема Брауэра – Урысона: если $E$ – замкнутое подмножество нормального пространства $X$ и $f: E \rightarrow \mathbb{R}$ – непрерывная действительная ограниченная функция, то существует такая непрерывная ограниченная функция $F: X \rightarrow \mathbb{R}$, что $F=f$ на $E$. К числу теоремы продолжения относится теорема Хана – Банаха о продолжении линейных функционалов в векторных пространствах.

В евклидовом пространстве теоремы продолжения в основном связаны с решением следующих двух задач: 1) продолжение функций с областей, лежащих в пространстве, на всё пространство; 2) продолжение функций с границы области на саму область. В обоих случаях требуется, чтобы продолженная функция обладала определёнными свойствами гладкости, т. е. принадлежала определённому функциональному классу, зависящему от свойств продолжаемой функции.

Задача о продолжении функции с сохранением непрерывности частных производных с области с достаточно гладкой границей на всё пространство решена М. Хестенесом (Hestenes. 1941) и Х. Уитни (Whitney. 1934; 1936). Если на $(n-1)$-мерной границе $\partial G$ области $G$, лежащей в $n$-мерном пространстве $\mathbb{R}^n$, заданы функции $\varphi_k: \partial G \rightarrow \mathbb{R}$, $k=0,1, \ldots, m$, то задача построения такой функции $u: G \rightarrow \mathbb{R}$, что для неё$$\tag{*}\frac{\partial^k u}{\partial n^k}=\varphi_k,\quad k=0,1, \ldots, m,\quad u \in C^{\infty}(G),$$где $n$ – нормаль к $\partial G$, в случае, когда гладкость функций $\varphi_k$ и границы $\partial G$ описывается в терминах непрерывности и принадлежности гёльдерову пространству (при наличии, быть может, некоторых особенностей), рассматривалась Э. Леви ( Levi. 1910), Ж. Жиро (Giraud. 1929; 1932) и М. Жевре (Gevrey. 1935). Изучался также порядок роста частных производных порядка $k>m$ при стремлении аргумента к границе $\partial G$ области $G$.

Систематически обе указанные задачи о продолжении функций в разных метриках $L_p$, $1<p \leqslant+\infty$, для разных измерений и в различных функциональных пространствах изучались С. М. Никольским и его учениками (Никольский. 1977; Бесов. 1996). В терминах ряда функциональных пространств установлены наилучшие характеристики дифференциальных свойств функций, которые можно получить при продолжении функции, обладающей заданными дифференциально-разностными свойствами (см. статью Теоремы вложения). Для задачи (*) было найдено продолжение, наилучшее с точки зрения роста производных порядка $k>m$ при подходе к граничному многообразию (Кудрявцев. 1959; Успенский. I, II. 1966).

Часто методы продолжения функций и систем функций (*) с границы области на всю область основаны на интегральных представлениях функций. Подобные методы продолжения функций обычно являются линейными. Существуют и другие методы продолжения функций – например, основанные на разложении функций в ряды с последующим продолжением каждого члена ряда. Этот метод, вообще говоря, не линейный. Имеются случаи, когда заведомо не существует линейного метода продолжения (Буренков. 1979).