Теоре́ма Ри́сса, 1) теорема Рисса о представлении субгармонической функции: если $u(x)$ – субгармоническая функция в области $D$ евклидова пространства $\R^n$, $n\geqslant 2$, то существует единственная положительная борелевская мера $\mu$ на $D$ такая, что для любого относительно компактного множества $K\subset D$ справедливо представление Рисса функции $u(x)$ в виде суммы потенциала и гармонической функции $h(x)$:

$$u(x)=-\int_K E_n(|x-y|) \, d\mu(y)+h(x), \tag{1}$$где

$$E_2(|x-y|)=\ln\frac1{|x-y|}, \quad E_n(|x-y|)=\frac1{|x-y|^{n-2}},$$$n\geqslant 3$, $|x-y|$ – расстояние между точками $x,y\in \R^n$ (см. Riesz. 1926; 1930). Мера $\mu$ называется ассоциированной мерой для функции $u(x)$ или мерой Рисса.

Если $K=\overline{H}$ есть замыкание области $H$, причём существует обобщённая функция Грина $g(x, y; H)$, то формулу (1) можно записать в виде

$$u(x)=-\int_{\bar{H}} g(x,y;H) \, d\mu(y)+h^*(x), \tag{2}$$где $h^*(x)$ – наименьшая гармоническая мажоранта $u(x)$ в области $H$.

Формулы (1), (2) можно распространить при некоторых дополнительных условиях на всю область $D$ (см. в статье Субгармоническая функция, а также Хейман. 1980; Привалов. 2019).

2) Теорема Рисса о среднем значении субгармонической функции: если $u(x)$ – субгармоническая функция в кольцевой области $\{x\in \R^n : 0\leqslant r\leqslant |x-x_0|\leqslant R\}$, то её среднее значение по площади сферы $S_n(x_0, \rho)$ с центром $x_0$ и радиусом $\rho$, $r\leqslant \rho \leqslant R$, равно

$$J(\rho)=J(\rho; x_0, u)= \frac1{ \sigma_n(\rho) } \int_{S_n(x_0, \rho)} u(y) \, d\sigma_n(y),$$где $\sigma_n(\rho)$ – площадь $S_n(x_0, \rho)$, и является выпуклой функцией относительно $1/\rho^{n-2}$ при $n\geqslant 3$ и относительно $\ln\rho$ при $n=2$. Если же $u(x)$ – субгармоническая функция во всём шаре $\{x\in \R^n : |x-x_0|\leqslant R\}$, то $J(\rho)$, кроме того, – неубывающая непрерывная функция относительно $\rho$ при условии, что $J(0)=u(x_0)$ (см. Riesz. 1926; 1930).

3) Теорема Рисса об аналитических функциях классов Харди $H_\delta$, $\delta>0$: если $f(z)$ – регулярная аналитическая функция в единичном круге $D=\{z=re^{i\theta}\in \mathbb{C} : |z| < 1\}$ класса Харди $H_\delta$, $\delta>0$ (см. Граничные свойства аналитических функций), то для неё имеют место соотношения

$$\lim_{r\to 1}\int_E|f(re^{i\theta})|^\delta d\theta=\int_E|f(e^{i\theta})|^\delta d\theta, \\ \lim_{r\to 1}\int_0^{2\pi}| f(re^{i\theta})- f(e^{i\theta})|^\delta d\theta=0,$$где $E$ – любое множество положительной меры на окружности $\Gamma=\{z=e^{i\theta} : |z| = 1\}$, $f(e^{i\theta})$ – граничные значения $f(z)$ на $\Gamma$. Кроме того, $f(z)\in H_1$ тогда и только тогда, когда её первообразная непрерывна в замкнутом круге $D\cup\Gamma$ и абсолютно непрерывна на $\Gamma$ (см. Riesz. 1923).

Теоремы доказаны Ф. Риссом (см. Riesz. 1923; 1926; 1930).