Спектра́льное разложе́ние лине́йного опера́тора, представление оператора в виде интеграла по спектральной мере (спектральной функции). Для любого самосопряжённого оператора $T$ в гильбертовом пространстве $H$ существует такая спектральная функция $P(\cdot)$, что

$$T=\int_{-\infty}^{+\infty} t d P(t) .$$Это означает, что

$$\begin{aligned} D_T&=\left\{x \in H: \int_{-\infty}^{+\infty} t^2 d(P(t) x, x)<\infty\right\}, \\ (T x, y)&=\int_{-\infty}^{+\infty} t d(P(t) x, y) \end{aligned}$$для любых $x \in D_T$, $y \in H$. Спектральная функция самосопряжённого оператора $T$ может быть вычислена через его резольвенту $R(\lambda, T)$ по формуле

$$P(b)-P(a)= \lim _{\delta \rightarrow 0} \lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{1}{2 \pi i} \int_{a+\delta}^{b-\delta}(R(\lambda-i \varepsilon, T)-R(\lambda+i \varepsilon, T)) d \lambda .$$Из теоремы о спектральном разложении самосопряжённого оператора следует возможность реализации самосопряжённых операторов операторами умножения и существование функционального исчисления на борелевских функциях.

Используя спектральное разложение самосопряжённого оператора и теорию расширений с выходом из пространства (Ахиезер. 1966), можно получить интегральное представление симметрического оператора через обобщённую спектральную функцию. Аналогично строится интегральное представление изометрических операторов. При этом аналогия между спектральными разложениями самосопряжённых и унитарных операторов, с одной стороны, и интегральными представлениями симметрических и изометрических – с другой, далеко не полная (отсутствие единственности обобщённых спектральных функций, отсутствие сильной сходимости интегралов, сравнительная узость функционального исчисления и т. п.).

Для любого ограниченного нормального оператора $T$ в гильбертовом пространстве $H$ существует такая счётно-аддитивная в сильной операторной топологии самосопряжённая спектральная мера $E(\cdot)$ на $\sigma$-алгебре борелевских подмножеств комплексной плоскости, что

$$T=\int_{\mathbf{C}} z E(d z) .$$При этом $\operatorname{supp} E(\cdot)=\sigma(T)$, $T E(\alpha)=E(\alpha) T$, $\sigma(T \mid E(\alpha) H)\subset \bar{\alpha}$. Эта теорема допускает следующую удобную переформулировку: всякий ограниченный нормальный оператор унитарно эквивалентен оператору умножения на некоторую существенно ограниченную функцию в пространстве $L^2(S, \Sigma, \mu)$, причём мера $\mu$ может быть выбрана конечной, если пространство сепарабельно.

Из теоремы о спектральном разложении следует существование функционального исчисления от нормального оператора, т. е. гомоморфизма $f \rightarrow f(T)$ алгебры существенно ограниченных борелевских функций на $\sigma(T)$ в алгебру ограниченных операторов, удовлетворяющего условию $i d(T)=T$ и переводящего всякую ограниченную поточечно сходящуюся последовательность функций в сильно сходящуюся последовательность операторов. Образ этого гомоморфизма (т. е. множество всех функций от оператора $T$) совпадает с множеством всех операторов, перестановочных с каждым оператором, перестановочным с $T$. Поскольку из существования функционального исчисления, в свою очередь, следует теорема о спектральном разложении, этот результат можно считать одной из форм спектральной теоремы. Теорема о спектральном разложении обобщается и на неограниченные нормальные операторы (Ахиезер. 1966).

Спектральная мера в случае спектрального разложения унитарного оператора – частного случая нормального оператора – может быть задана на единичной окружности. Спектральное разложение унитарного оператора $U$ иногда записывается в виде

$$U=\int_0^{2 \pi} e^{i \theta} d E(\theta),$$где $E(\cdot)$ – спектральная функция, сосредоточенная на отрезке $[0,2 \pi]$. Таким образом, спектральное разложение даёт возможность представить унитарный оператор в виде $\exp i A$, где $A$ – самосопряжённый оператор. Этот результат обобщает теорема Стоуна: всякая сильно непрерывная однопараметрическая группа унитарных операторов представляется в виде

$$U(t)=\exp it A,$$где $A$ – самосопряжённый (возможно, неограниченный) оператор.