Си́мвол опера́тора, скалярная или матричная функция, ассоциированная с оператором и обладающая свойствами, в той или иной форме отражающими свойства этого оператора. Обычно считается, что символы операторов заданы для операторов, принадлежащих некоторой алгебре. Тогда, как правило, при сложении операторов их символы складываются, а при умножении – перемножаются с точностью до членов, в некотором смысле являющихся младшими, но иногда и точно. Бывает, что символ оператора – это функция со значениями в некоторой алгебре (в частности, операторной алгебре), более простой, чем исходная.

Обычно символы ассоциируются с операторами, действующими в функциональных пространствах. Тогда одна из типичных ситуаций состоит в том, что если оператор действует на функции от $n$ переменных (или, более общо, на функции на $n$-мерном многообразии), то его символ – функция от $2n$ переменных (или на $2n$-мерном многообразии). На основе использования таких символов оператора строится теория псевдодифференциальных операторов. Соответствие между символами и операторами является основой квантования, при котором символ является классической величиной, а сам оператор – соответствующей квантовой величиной.

Символы операторов в n-мерном пространстве

Пусть дан полином$$a(p, q)=\sum_{|\alpha+\beta| \leqslant m} {a_{\alpha \beta} q^{\alpha} p^\beta},$$где $q, p \in \mathbb{R}^{n}$, $q=\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)$, $p=\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right)$, $\alpha,\beta$ – мультииндексы (т. е., например, $\alpha=\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right)$, $\alpha_{j} \geqslant 0$, $\alpha_{j}$ – целые, $|\alpha|=\alpha_{1}+\ldots+\alpha_{n}$), $a_{\alpha \beta} \in \mathbb{C}$. Тогда по нему несколькими различными способами можно построить оператор $A$, действующий на функциях на $\mathbb{R}^{n}$, подставляя вместо $q_{j}$ оператор $\hat{q}_{j}$ умножения на одну из координат $x_{j}$ в $\mathbb{R}^n$, а вместо $p_{j}$ – оператор $\hat{p}_{j}=\frac{h}{i} \frac{\partial}{\partial x_{j}}$, где $i=\sqrt{-1}$, $h$ – произвольная постоянная (играющая роль постоянной Планка). Если при этом менять порядок букв $q$ и $p$, то получатся разные операторы. Если положить$$A=a\left(\stackrel{2}{\hat{q}}, \stackrel{1} {\hat{p}}\right) = \sum_{|\alpha+\beta| \leqslant m} a_{\alpha\beta} \hat{q}^{\alpha} \hat{p}^{\beta},$$то $a(q, p)$ называется $q p$-символом, или левым символом оператора $A$. Получаемое таким образом соответствие между левыми символами и операторами является взаимно однозначным соответствием между полиномами и дифференциальными операторами с полиномиальными коэффициентами и может быть распространено на значительно более широкие классы операторов и символов, если воспользоваться формулой$$(A u)(x)=(2 \pi h)^{-n} \int e^{\frac{i}{h}(x-y) \xi} a(x, \xi) u(y)\, d y\, d \xi,$$где $z \xi=z_{1} \xi_{1}+\ldots+z_{n} \xi_{n}$ для $n$-мерных векторов $z=\left(z_{1}, \ldots, z_{n}\right)$ и $\xi=\left(\xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right)$, $d y=d y_{1}, \ldots, d y_{n}$, $d \xi=d \xi_{1} \ldots d \xi_{n}$.

Оператор $A$ с $p q$-символом, или правым символом $a(q, p)$ определяется формулой$$A=a\left(\stackrel{2}{\hat{q}}, \stackrel{1} {\hat{p}}\right) = \sum_{|\alpha+\beta| \leqslant m} a_{\alpha\beta} \hat{p}^{\beta} \hat{q}^{\alpha},$$или для более общих символов$$(A u)(x)=(2 \pi h)^{-n} \int e^{\frac{i}{h}(x-y) \xi} a(y, \xi) u(y)\, d y\, d \xi.$$Более симметричный способ построения оператора по полиному $a(q, p)$ получается, если ввести для некоммутирующих операторов $B$, $C$ симметризованное произведение $\left(B^{k} C^{l}\right)$ формулой$$(s B+t C)^{n}=\sum_{k+l=n} \frac{n !}{k ! l !} s^{k} t^{l}\left(B^{k} C^{l}\right),$$a затем положить$$A=\sum_{|\alpha+\beta| \leqslant m} a_{\alpha \beta}\left(\hat{q}_{1}^{\alpha_{1}} \hat{p}_{1}^{\beta_{1}}\right) \ldots\left(\hat{q}_{n}^{\alpha_{n}} \hat{p}_{n}^{\beta_{n}}\right).$$Тогда $a(q, p)$ называется символом Вейля оператора $A$. Оператор $A$ может быть записан через символ Вейля по формуле$$(A u)(x)=(2 \pi h)^{-n} \int e^{\frac{i}{h}(x-y) \xi} a\left(\frac{x+y}{2}, \xi\right) u(y)\, d y\, d \xi.$$Вторичное квантование приводит к появлению ещё двух видов символов операторов на $\mathbb{R}^{n}$ – виковского и антивиковского. А именно, если ввести операторы рождения $a_{j}^{+}=\hat{q}_{j}- i\hat{p}_{j}$ и операторы уничтожения $a_{j}^{-}= \hat{q}_{j}+i \hat{p}_{j}$ и записать дифференциальный оператор с полиномиальными коэффициентами в виде$$A=\sum_{\alpha, \beta} c_{\alpha \beta}(a^{+})^\alpha {a}^\beta$$или в виде$$A=\sum_{\alpha, \beta} c_{\alpha \beta}^{\prime} a^{\beta}(a^{+})^{\alpha},$$то его виковский символ $c(q, p)$ и антивиковский символ $a(q, p)$ задаются соответственно формулами$$\begin{aligned} &c(q, p)=\sum_{\alpha, \beta} c_{\alpha \beta}(q-i p)^{\alpha}(q+i p)^{\beta}, \\ &a(q, p)=\sum_{\alpha, \beta} c_{\alpha \beta}^{\prime}(q-i p)^{\alpha}(q+i p)^{\beta}. \end{aligned}$$О формулах, связывающих разные виды символов одного и того же оператора, см. Березин. 1965; Маслов. 1973; Шубин. 1978; Березин. 1971.

Символы операторов на многообразии

Если символы описанных выше типов на $\mathbb{R}^n$ взаимно однозначно соответствуют операторам некоторых достаточно широких классов, то на многообразии, как правило, нет естественных символов, для которых существовало бы такое взаимно однозначное соответствие. На многообразии важную роль играет т. н. главный символ, который определяется для некоторых псевдодифференциальных операторов и является однородной функцией на $T^{*}X\backslash O$ – кокасательном расслоении многообразия $X$ без нулевого сечения. Его обратимость означает, что рассматриваемый оператор $A$ является эллиптическим и гарантирует выполнение теоремы регулярности, т. е. гладкости решений уравнения $Au=f$ с гладкой правой частью $f$, а также фредгольмовость оператора $A$ (в случае компактного $X$) в подходящих пространствах Соболева. При сложении и умножении операторов их главные символы соответственно складываются и перемножаются. Главный символ не меняется при добавлении к оператору членов меньшего порядка.

Символы операторов на многообразии с краем

На многообразии с краем $X$ псевдодифференциальный оператор имеет вид матрицы (см. Вoutet de Monvel L., 1971)$$\mathfrak{A} = \begin{Vmatrix} A+B &K\\ T &Q \end{Vmatrix} : \begin{matrix} \Gamma(E_1) \\ \oplus \\ \Gamma(G_1) \end{matrix}\longrightarrow \begin{matrix} \Gamma(E_2) \\ \oplus \\ \Gamma(G_2) \end{matrix},$$где $E_{1}, E_{2}$ – векторные расслоения на $X$, $G_{1}, G_{2}$ – векторные расслоения на $Y$, $A$ – псевдодифференциальный оператор на $X$, удовлетворяющий условию трансмиссии, $T$ – граничный оператор, т. е. оператор взятия каких-то граничных условий (вообще говоря, псевдодифференциальных), $K$ – кограничный оператор, или оператор типа потенциала, $B$ – сингулярный оператор Грина (так называются композиции граничных и кограничных операторов и некоторые более общие операторы аналогичной структуры), $Q$ – псевдодифференциальный оператор на $Y$. Оператор $\mathfrak{A}$ имеет символы двух типов: внутренний и граничный. Внутренний символ $\sigma^{\circ}(\mathfrak{A})$ – это обычный символ оператора $A$, являющийся функцией на $T^{*}X\backslash O$, точнее, сечением расслоения $\operatorname{Hom}\left(\pi^{*} E_{1}, \pi^{*} E_{2}\right)$, где $\pi: T^{*}X\backslash O\rightarrow X$ – каноническая проекция. Граничный символ $\sigma_{\gamma}(\mathfrak{A})$ – это функция на $T^{*} Y \backslash O$, значения которой – операторы на полуоси $[0, \infty]$, получающиеся из $\mathfrak{A}$ замораживанием коэффициентов главной части в точке границы (в координатах, в которых граница является гиперплоскостью) и последующим преобразованием Фурье по касательным переменным. Обратимость $\sigma^{0}(\mathfrak{A})$ – это обычная эллиптичность оператора $A$. Если предположить эту эллиптичность, то обратимость $\sigma_{Y}(\mathfrak{A})$ в классах убывающих функций на полуоси – это фактически условие эллиптичности граничной задачи, определяемой оператором $\mathfrak{A}$, или т. н. условие Шапиро – Лопатинского. Таким образом, символом оператора $\mathfrak{A}$ естественно называть пару $\left\{\sigma^{\circ}(\mathfrak{A}), \sigma_{Y}(\mathfrak{A})\right\}$. Если обратимы оба символа $\sigma^{\circ}(\mathfrak{A})$ и $\sigma_{Y}(\mathfrak{A})$, то $\mathfrak{A}$ называется эллиптическим, и в этом случае для него верны обычные теоремы о регулярности и фредгольмовости (последняя – когда $X$ компактно).