Сеть дифференци́руемого многообра́зия, система $\Sigma_n=\{\sigma^1,\sigma^2,\dots,\sigma^n\}$ $n$ семейств ($n\ge 2$) достаточно гладких линий, определённых в области $G$ $n$-мерного дифференцируемого многообразия $M$ так, что 1) через каждую точку $x\in G$ проходит точно по одной линии каждого семейства $\sigma^i$; 2) векторы, касательные к этим кривым в точке $x$, образуют базис пространства $T_x$ – касательного пространства к многообразию $M$ в точке $x$. Векторы, касательные к линиям одного семейства $\sigma^i$, принадлежат одномерному распределению $\Delta_1^i$, определённому в области $G$. Условия того, что семейства линий составляют сеть в некоторой окрестности точки, могут не выполняться при продолжении линий. Линии семейства $\sigma^i$ являются интегральными кривыми распределения $\Delta_1^i$. Сеть $\Sigma_n\subset G$ определяется заданием $n$ одномерных распределений $\Delta_1^i$ таких, что в каждой точке $x\in G$ касательное пространство $T_x$ является прямой суммой подпространств $\Delta_1^i$, $i=1,2,\dots, n$. Сеть $\Sigma_n\subset G$ определяет в области $G$ $(n-1)$-мерные распределения $\Delta_{n-1}^i$ такие, что в каждой точке $x\in G$ подпространство $\Delta_{n-1}^i(x)\subset T_x$ является прямой суммой $n-1$ одномерных подпространств $\Delta_1^j(x)$, $j\ne i$. Различают следующие типы сетей: голономные сети, для которых каждое из распределений $\Delta_{n-1}^i$ интегрируемо (при $n = 2$ всякая сеть голономна); частично голономные сети, для которых некоторые из распределений $\Delta_{n-1}^i$ интегрируемы, а остальные неинтегрируемы (такие сети подразделяются по числу неинтегрируемых распределений); неголономные сети, для которых все распределения $\Delta_{n-1}^i$ неинтегрируемы.

Если распределение $\Delta_{n-1}^i$, $n>2$, интегрируемо и $\gamma^i$ – интегральная кривая распределения $\Delta_1^i$, то через каждую точку $x\in\gamma^i$ проходит интегральное многообразие распределения $\Delta_{n-1}^i$, несущее сеть $\Sigma_{n-1}(x)$ из кривых, принадлежащих семействам $\sigma^j$, $j\ne i$.

Сеть $\Sigma_n\subset G$ можно задать также одним из следующих способов: а) системой векторных полей $X_i\subset\Delta_1^i$, б) системой дифференциальных 1-форм $\omega^i$ таких, что $\omega^i(X_j) = \delta_j^i$, в) полем аффинора $\Phi$ такого, что $\Phi^n=E$ ($E$ – единичный аффинор).

При изучении сетей рассматриваются три основные проблемы: внутренние свойства сети, внешние свойства сети и исследование диффеоморфизмов сетей.

Внутренние свойства сетей индуцируются структурой многообразия, несущего сеть. Например, сеть $\Sigma_n$ в пространстве $M$ аффинной связности $\nabla$ называется геодезической сетью, если все её линии геодезические. Если риманово многообразие $M$ со связностью без кручения, в которой метрический тензор ковариантно постоянен, несёт ортогональную чебышёвскую сеть 1-го рода, то $M$ локально евклидово. Связь таких сетей с параллельным перенесением векторов на поверхности была установлена Л. Бьянки (1922). Эта связь была положена А. П. Норденом в основу определения чебышёвской сети 1-го рода в пространстве аффинной связности.

Внешние свойства сетей индуцируются структурой объемлющего пространства $E$. Так, например, пусть сеть $\Sigma_n$, заданная в некоторой области $G$ на гладкой поверхности $V_n$ проективного $(n+k)$-мерного пространства ($k\ge 1$), – сопряжённая сеть, т. е. в каждой точке $x\in G$ сопряжены направления $\Delta_1^i(x)$, $\Delta_1^j(x)$ касательных к любым двум линиям сети, проходящим через точку $x$ (два направления сопряжены, если каждое из них принадлежит характеристике касательной плоскости $T_x$ при её смещении в другом направлении). Если $V_n$ не вмещается в проективное пространство размерности, меньшей $n+k$, то при $k=1$ поверхность $V_n$ несёт бесконечное множество сопряжённых сетей; при $k=2$ поверхность несёт в общем случае единственную сопряжённую сеть, но существуют и такие $n$-мерные поверхности, на которых нет ни одной сопряжённой сети; при $k>2$ только $n$-мерные поверхности специального строения несут сопряжённую сеть. При $n>2$ сопряжённая сеть может и не быть голономной (см. Базылев. 1965). Частным случаем голономной сопряжённой сети является $n$-сопряжённая система: сеть $\Sigma_n$, обладающая тем свойством, что касательные к линиям каждого семейства, взятые вдоль любой линии любого другого семейства, образуют развёртывающуюся поверхность. Сопряжённые системы существуют в проективном пространстве любой размерности $n+k$ при $n\ge 2$, $k\ge 0$. Поверхности $V_n$, несущие $n$-сопряжённую систему в проективном $(n+k)$-мерном пространстве, когда $k\ge n$, и в каждой точке $x\in V_n$ соприкасающееся с $V_n$ пространство (пространство вторых дифференциалов точки $x$) размерности $2n$, впервые рассматривал Э. Картан (Cartan. 1919) под названием «многообразия особого проективного типа» (поверхности Картана). На такие сети было распространено понятие преобразования Лапласа (Chern. 1944; Смиpнов. 1950).

При изучении диффеоморфизмов сетей по известным свойствам сети $\Sigma_n\subset M$ описываются свойства сети $\varphi(\Sigma_n)\subset N$ при заданном диффеоморфизме $\varphi:M\to N$ (например, при изгибании или при конформном отображении поверхности, несущей сети) или ищется диффеоморфизм $\varphi$, сохраняющий некоторые из свойств сети $\Sigma_n$. Так, например, сеть $\Sigma_2$ на поверхности евклидова пространства называется ромбической сетью (конформно-чебышёвской), если она допускает конформное отображение на чебышёвскую сеть. На всякой поверхности вращения асимптотическая сеть является ромбической.