Расшире́ние дифференциа́льного по́ля $F_0$, дифференциальное поле $F\supset F_0$ с таким множеством дифференцирований $\Delta$, что ограничение $\Delta$ на $F_0$ совпадает с множеством дифференцирований, заданных на $F_0$. В свою очередь, $F_0$ будет дифференциальным подполем поля $F$.

Пересечение любого множества дифференциальных подполей в $F$ является дифференциальным подполем поля $F$. Для любого множества элементов $\Sigma\subset F$ существует наименьшее дифференциальное подполе в $F$, содержащее все элементы из $\Sigma$ и $F_0$; оно обозначается $F_0\langle\Sigma\rangle$ и называется расширением поля $F_0$, порождённым множеством $\Sigma$ (при этом говорят, что $\Sigma$ является множеством, или семейством, образующих расширения $F_0\langle\Sigma\rangle$ над $F_0$). Расширение называется конечно порождённым, если оно имеет конечное множество образующих, и называется просто порождённым, если множество образующих состоит из одного элемента. Если $F_1$ и $F_2$ – два дифференциальных подполя в $F$, то подполе

$$F_1F_2=F_1 \langle F_2\rangle=F_1(F_2)=F_2(F_1)=F_2\langle F_1\rangle ,$$являющееся дифференциальным подполем поля $F$, называется композитом полей $F_1$ и $F_2$.

Пусть $\Theta$ – свободная коммутативная полугруппа с множеством свободных образующих $\Delta$ (её элементы называются дифференциальными операторами). Семейство $(\alpha_i)_{i\in I}$ элементов дифференциального поля $F$ называется дифференциально алгебраически зависимым над дифференциальным полем $F_0\subset F$, если семейство $(\theta\alpha_i)_{i\in I,\theta\in \Theta}$ алгебраически зависимо над $F_0$; в противном случае семейство $(\alpha_i)_{i\in I}$ называется дифференциально алгебраически независимым над $F_0$ или семейством дифференциальных неизвестных над $F_0$. Говорят, что элементы $(\alpha_i)_{i\in I}$ дифференциально сепарабельно зависимы над $F_0$, если семейство $(\theta\alpha_i)_{i\in I,\theta\in \Theta}$ сепарабельно зависимо над $F_0$; в противном случае семейство $(\alpha_i)_{i\in I}$ называется дифференциально сепарабельно независимым над $F_0$.

Расширение $F$ называется дифференциально алгебраическим над $F_0$, если таковым является каждый элемент поля $F$. Аналогично $F$ называется дифференциально сепарабельным над $F_0$, если таковым является каждый элемент из $F$. Для дифференциальных расширений справедлива теорема о примитивном элементе: пусть множество $\theta$ независимо на $F_0$, тогда всякое конечно порождённое дифференциально сепарабельное расширение $F$ поля $F_0$ порождается одним элементом.

Пусть $J$ – некоторое множество и $F_0[(y_{i\theta})_{i\in J,\theta\in \Theta}]$ – алгебра многочленов над $F_0$ от семейства неизвестных $(y_{j\theta})_{j\in J,\theta\in \Theta}$ с множеством индексов $J\times\theta$. Любое дифференцирование $\delta\in\Delta$ поля $F_0$ единственным образом продолжается до дифференцирования кольца $F_0[(y_{j\theta})_{j\in J,\theta\in \Theta}]$, отображающего $y_{j\theta}$ в $y_{j\delta\theta}$. Это дифференциальное кольцо называется кольцом дифференциальных многочленов от дифференциальных неизвестных $y_j$, $j\in J$ и обозначается $F_0\{(y_j)_{j\in J}\}$. Его дифференциальное поле частных (т. е. поле частных с продолжением дифференцирований) обозначается $F_0\langle(y)_{j\in J}\rangle$, а элементы этого поля называются дифференциальными функциями над $F_0$ от дифференциальных неизвестных $(y_j)_{j\in J}$. Для обыкновенных дифференциальных полей имеет место аналог теоремы Люрота: пусть $F$ – произвольное дифференциальное расширение дифференциального поля $F_0$, содержащееся в $F_0\langle u\rangle$, тогда $F$ содержит такой элемент $v$, что $F=F_0\langle v\rangle$.

Для любого дифференциального поля $F$ существует сепарабельное полууниверсальное расширение, т. е. такое расширение, в которое вкладывается всякое конечно порождённое сепарабельное расширение поля $F$. Более того, существует сепарабельное универсальное расширение $U$, т. е. такое расширение, которое является полууниверсальным над каждым конечно порождённым расширением дифференциального поля $F$, содержащимся в $U$.

В теории дифференциальных полей нет объекта, соответствующего алгебраически замкнутому полю в теории полей. До некоторой степени их роль играют стеснённо замкнутые поля. Основным свойством такого поля $F$ является то, что любая конечная система алгебраических дифференциальных уравнений и неравенств с коэффициентами в $F$, имеющая решение, рациональное над некоторым расширением поля $F$, имеет решение, рациональное над $F$. Семейство $\eta=(\eta_j)_{j\in J}$ элементов из некоторого расширения дифференциального поля $F$ называется стеснённым над $F$, если существует такой дифференциальный многочлен $c\in F\{(y_j)_{j\in J}\}$, что $c(\eta)\ne 0$ и $c(\eta^\prime)=0$ для любой необщей дифференциальной специализации $\eta^\prime$ точки $\eta$ над $F$. Расширение $\mathscr{Y}$ поля $F$ называется стеснённым над $F$, если любая конечная система элементов $\eta_1,\ldots,\eta_n\in\mathscr{Y}$ является стеснённой над $F$; это равносильно тому, что произвольный элемент из $\mathscr{Y}$ является стеснённым над $F$. Дифференциальное поле, не имеющее нетривиальных стеснённых расширений, называется стеснённо замкнутым. Пример такого поля – универсальное дифференциальное поле нулевой характеристики (универсальное расширение поля рациональных чисел $Q$). Для любого дифференциального поля нулевой характеристики существует стеснённое замыкание, т. е. стеснённо замкнутое расширение поля $F$, которое вкладывается в любое другое стеснённо замкнутое расширение поля $F$.

Определение нормального расширения из теории полей может быть перенесено в дифференциальную алгебру различными способами. В дифференциальной теории Галуа основную роль играют сильно нормальные расширения. Пусть $U$ – фиксированное универсальное дифференциальное поле характеристики $0$ с полем констант $K$. Все дифференциальные поля, встречающиеся ниже, предполагаются лежащими в $U$, а все упоминаемые далее изоморфизмы предполагаются дифференциальными изоморфизмами, т. е. коммутируют с операторами из множества $\Delta$. Пусть $F$ и $\mathscr{Y}$ – дифференциальные поля, над которыми $U$ универсально. Пусть $C$ – поле констант поля $\mathscr{Y}$. Изоморфизм $\sigma$ поля $\mathscr{Y}$ называется сильным, если $\sigma$ оставляет инвариантным каждый элемент из $C$, $\sigma\mathscr{Y}\subset\mathscr{Y} K$ и $\mathscr{Y}\subset\sigma\mathscr{Y} K$ (т. е. $\mathscr{Y} K=\mathscr{Y}\sigma K$). Сильно нормальным расширением дифференциального поля $F$ называется такое конечно порождённое расширение $\mathscr{Y}$ поля $F$, что всякий изоморфизм поля $\mathscr{Y}$ над $F$ является сильным. Сильно нормальные расширения являются стеснёнными. Множество сильных изоморфизмов сильно нормального расширения $\mathscr{Y}$ над $F$ имеет естественную структуру алгебраической группы, определённой над полем $K$ [обозначаемой через $G(\mathscr{Y}/F)$]. Это дифференциальная группа Галуа расширения $\mathscr{Y}/F$. Частным случаем сильно нормальных расширений являются расширения Пикара – Вессио, т. е. расширения, сохраняющие поле констант и получающиеся присоединением к полю $F$ базиса решений какой-либо системы линейных однородных дифференциальных уравнений с коэффициентами из $F$. Для таких расширений группа Галуа $G(\mathscr{Y}/F)$ является алгебраической матричной группой, т. е. алгебраической подгруппой группы $GL_K(n)$ для некоторого целого $n>0$.

Дифференциальные группы Галуа типичных дифференциально-алгебраических расширений имеют следующий вид.

1) Пусть $\mathscr{Y}=F\langle\alpha\rangle$, где $\alpha$ удовлетворяет системе уравнений $\delta_i\alpha=a_i\alpha$, $\delta_i\in\Delta$, $a_i\in F$, $i=1,\ldots,m$, и пусть поля констант полей $\mathscr{Y}$ и $F$ совпадают. Тогда $\mathscr{Y}$ является расширением Пикара – Вессио поля $F$ и дифференциальная группа Галуа $G(\mathscr{Y}/F)$ является подгруппой мультипликативной группы поля $K$ [т. е. $GL_K(1)=K^*$]. Если элемент $\alpha$ трансцендентен над $F$, то $G(\mathscr{Y}/F)\approx K^*$, а если $\alpha$ алгебраичен, то $\alpha$ удовлетворяет уравнению вида $y^d-b=0$, где $b\in F$ и $G(\mathscr{Y}/F)=Z_d$ (группа корней из $1$ степени $d$). Расширение $\mathscr{Y}$ поля $F$ называется расширением при помощи экспоненты.

2) Пусть $\mathscr{Y}=F\langle\alpha\rangle$, где $\alpha$ удовлетворяет системе уравнений $\delta_i\alpha=a_i\alpha$, $\delta_i\in\Delta$, $a_i\in F$, $i=1,\ldots,m$ (такой элемент $\alpha$ называется примитивным над $F$). И пусть поле констант поля $F\langle\alpha\rangle$ совпадает с $C$. Если $\alpha\notin F$, то $\alpha$ трансцендентен над $F$. Полученное расширение является расширением Пикара – Вессио, и группа Галуа $G(F\langle\alpha\rangle /F)$ изоморфна аддитивной группе поля $K$. Такие расширения называются расширениями при помощи интеграла.

3) Пусть $g_2$, $g_3$ – такие элементы поля $C$, что $g_2^3-27g_3^2\ne 0$. Элемент $\alpha\in U$ называется вейерштрассовым над $F$, если $\alpha$ удовлетворяет системе уравнений $(\delta_i\alpha)^2-a_i^2(4\alpha^3-g_2\alpha-g_3)$; $\delta_i\in\Delta$, $a_i\in F$, $1\leqslant i\leqslant m$. Расширение $\mathscr{Y}=F\langle\alpha\rangle$ является сильно нормальным над $F$, однако, если $\alpha$ трансцендентен над $F$, оно не является расширением Пикара – Вессио. Имеется мономорфизм

$$c : G(F\langle\alpha\rangle/F)\to W_K,$$где $W_K$ – группа точек кубической кривой

$$X_0X_2^2-(4X_1^3-g_2X_0^2X_1-g_3X_0^3)=0.$$Если $\alpha$ трансцендентен над $F$, то $c$ является изоморфизмом.

4) Пусть $F$ – дифференциальное поле, $a_1,\ldots,a_n\in F$ и $(\eta_1,\ldots,\eta_n)$ – фундаментальная система нулей уравнения $y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\ldots+a_ny=0$, которая порождает расширение Пикара – Вессио поля $F$. Группа Галуа $G(F<\eta_1,\ldots,\eta_n>/F)$ содержится в $SL_K(n)$ тогда и только тогда, когда уравнение $y^\prime+a_1y=0$ имеет нетривиальный нуль в $F$. В частности, если $F=C(x)$ – дифференциальное поле рациональных функций одного комплексного переменного с дифференцированием $d/dx$ и $B_\nu=y^{\prime\prime}+x^{-1}y^\prime+(1-\nu^2x^{-2})y$ – дифференциальный многочлен Бесселя, то группа Галуа соответствующего расширения совпадает с $SL_K(2)$ при $\nu-^1\!\!/_2\notin \mathbb{Z}$. Если $\nu-^1\!\!/_2\in\mathbb{Z}$, то группа Галуа совпадает с $K^*$.

Для любого натурального $n$ можно построить такое расширение дифференциальных полей $\mathscr{Y} \supset F$, что $G (\mathscr{Y}/F)\approx GL_K(n)$.

Существует соответствие Галуа между множеством дифференциальных подполей сильно нормального расширения и множеством алгебраических подгрупп его группы Галуа.

Как и в обычной теории Галуа, в дифференциальном случае рассматриваются две общие задачи.

а) Прямая задача: задано сильно нормальное расширение $\mathscr{Y}$ дифференциального поля $F$. Определить его группу Галуа.

б) Обратная задача: заданы дифференциальное поле $F$ и алгебраическая группа $G$. Описать множество сильно нормальных расширений поля $F$, группа Галуа которых изоморфна группе $G$ (в частности, определить, не пусто ли оно).

Существует другой способ обобщения нормальности на случай расширения дифференциальных полей и построения дифференциальной теории Галуа, использующий методы дифференциальной геометрии (Pommaret. 1983).