Крите́рий Стью́дента (t-критерий), критерий значимости для средних значений нормальных распределений.

Одновыборочный критерий Стьюдента

Пусть независимые случайные величины $X_1,X_2,\ldots,X_n$ подчиняются нормальному $N_1(a,\sigma^2)$ закону, параметры которого $a$ и $\sigma^2$ неизвестны, и пусть проверяется сложная гипотеза $H_0:a=a_0$ против сложной альтернативы $H_1:a\neq a_0$. Для решения этой задачи используется критерий Стьюдента, основанный на статистике

$$t_{n-1}=\sqrt{n}\,\frac{\overline{X}-a_0}{s},$$где

$$\overline X=\frac 1n\sum_{i=1}^nX_i\quad\text{и}\quad s^2=\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n(X-\overline X)^2$$– оценки параметров $a$ и $\sigma^2$, вычисленные по выборке $X_1,X_2,\ldots,X_n$. При справедливости гипотезы $H_0$ статистика подчиняется распределению Стьюдента с $f=n-1$ степенями свободы, т. е.

$$\mathsf{P}\{|t_{n-1}|<t\mid H_0\}=2S_{n-1}(t)-1,\quad t>0,$$где $S_f(t)$ – функция распределения Стьюдента с $f$ степенями свободы. Согласно одновыборочному критерию Стьюдента с уровнем значимости $\alpha$, $0<\alpha<0{,}5$, гипотезу $H_0$ следует принять, если

$$\left|\sqrt{n}\,\frac{\overline X-a_0}s\right| <t_{n-1}\left(1-\frac\alpha2\right),$$где $t_{n-1}\left(1-\alpha/2\right)$ – квантиль уровня $1-\alpha/2$ распределения Стьюдента с $f=n-1$ степенями свободы, т. е. $t_{n-1}\left(1-\alpha/2\right)$ – решение уравнения $S_{n-1}(t)=1-\alpha/2$. Напротив, если

$$\left|\sqrt{n}\,\frac{\overline X-a_0}s\right| \geqslant t_{n-1}\left(1-\frac\alpha2\right),$$то согласно критерию Стьюдента уровня $\alpha$ проверяемую гипотезу $H_0:a=a_0$ следует отвергнуть и принять конкурирующую гипотезу $H_1:a\neq a_0$.

Двухвыборочный критерий Стьюдента

Пусть $X_1,X_2,\ldots X_n$ и $Y_1,Y_2,\ldots, Y_m$ – взаимно независимые нормально распределённые случайные величины, имеющие одинаковую, но неизвестную дисперсию $\sigma^2$, и пусть

$$\begin{gathered} \mathsf{E}X_1=\mathsf{E}X_2=\ldots=\mathsf{E}X_n=a_1,\\ \mathsf{E}Y_1=\mathsf{E}Y_2=\ldots=\mathsf{E}Y_m=a_2, \end{gathered}$$причём параметры $a_1$ и $a_2$ тоже неизвестны (часто говорят, что имеются две независимые нормальные выборки). Далее, пусть проверяется гипотеза $H_0 : a_1=a_2$ против альтернативы $H_1 : a_1\neq a_2$. В этом случае как проверяемая гипотеза $H_0$, так и конкурирующая гипотеза $H_1$ являются сложными. По наблюдениям $X_1,X_2,\ldots X_n$ и $Y_1,Y_2,\ldots, Y_m$ можно вычислить оценки

$$\overline X=\frac 1n\sum_{i=1}^n X_i\quad\text{и}\quad \overline Y=\frac 1m\sum_{j=1}^m Y_j$$для неизвестных математических ожиданий $a_1$ и $a_2$, а также оценки

$$s_1^2=\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline X)^2 \quad\text{и}\quad s_2^2=\frac1{m-1}\sum_{j=1}^m(Y_j-\overline Y)^2$$для неизвестной дисперсии $\sigma^2$. Далее, пусть

$$s^2=\frac{1}{n+m-2}\left[(n-1)s_1^2+(m-1)s_2^2\right],$$тогда при справедливости гипотезы $H_0$ статистика

$$t_{n+m-2}=\dfrac{\overline X-\overline Y}{s\sqrt{1/n+1/m}}$$подчиняется распределению Стьюдента с $f=n+m-2$ степенями свободы. Именно этот факт и лежит в основе двухвыборочного критерия Стьюдента, предназначенного для проверки $H_0$ против $H_1$. Согласно двухвыборочному критерию Стьюдента уровня $\alpha$, $0<\alpha<0{,}5$, гипотеза $H_0$ принимается, если

$$|t_{n+m-2}|<t_{n+m-2}(1-\alpha/2),$$где $t_{n+m-2}(1-\alpha/2)$ – квантиль уровня $1-\alpha/2$ распределения Стьюдента с $f=n+m-2$ степенями свободы. Если же

$$|t_{n+m-2}|\geqslant t_{n+m-2}(1-\alpha/2),$$то, согласно критерию Стьюдента уровня $\alpha$, гипотеза $H_0$ отвергается в пользу $H_1$.