Полугру́ппа переходны́х опера́торов, полугруппа операторов, порождаемых переходной функцией марковского процесса. По переходной функции $P(t, x, A)$ однородного марковского процесса $X=\left(x_t,\zeta, \mathscr{F}_t, \mathsf{P}_x\right)$ в фазовом пространстве $(E, \mathscr{B})$ можно построить некоторые полугруппы линейных операторов $P^t$, действующих в том или ином банаховом пространстве $\mathbb{B}$ (Feller. 1952). Чаще всего в роли $\mathbb{B}$ берут пространство $\mathbb{B}(E)$ ограниченных действительных функций $f$ на $E$ с равномерной нормой [а для феллеровского процесса $X$ – пространство $\mathbb{C}(E)$ непрерывных функций с той же нормой] или пространство $V(E)$ конечных счётно-аддитивных функций $\varphi$ на $\mathscr{B}$ с полной вариацией в качестве нормы. В первых двух случаях полагают

$$P^t f(x)=\int_E f(y) P(t, x, d y);$$в третьем

$$P^t\varphi(A)=\int_E P(t, y, A) \varphi(d y)$$(здесь $f$ и $\varphi$ принадлежат соответствующим пространствам, $x \in E$, $A \in \mathscr{B}$). Во всех этих случаях выполнено полугрупповое свойство: $P^t p^s=P^{t+s}$, $s, t \geqslant 0$, и любая из трёх полугрупп $\left\{P^t\right\}$ называется полугруппой переходных операторов.

В дальнейшем речь идёт только о первом случае. Инфинитезимальный оператор $A$ полугруппы $\left\{p^t\right\}$ (он же – инфинитезимальный опеpaтоp процесса) определяется обычным образом:

$$A f=\lim _{t \downarrow 0} t^{-1}\left(P^t f-f\right)$$для всех тех $f \in \mathbb{B}(E)$, для которых указанный предел существует как предел в $\mathbb{B}(E)$. Предполагая, что $P(t, x, A)$ при $A \in \mathscr{B}$ является измеримой функцией пары переменных $(t, x)$, вводят резольвенту $R^\alpha$ процесса $X$, $\alpha>0$:
$$\tag{*} R^\alpha f=\int_0^{\infty} e^{-\alpha t} P^t f d t,\quad f \in \mathbb{B}(E) .$$Если $\left\|P^t f-f\right\| \rightarrow 0$ при $t \downarrow 0$, то $A g=\alpha g-f$, где $g=R^{\alpha} f$. При определённых предположениях интеграл $(*)$ существует и при $\alpha=0$, причём $g=R^0 f$ удовлетворяет «уравнению Пуассона»

$$A g=-f$$(по этой причине, в частности, $R^0 f$ называется потенциалом функции $f$).

Знание инфинитезимального оператора позволяет найти важные характеристики исходного процесса; более того, вопросы классификации марковских процессов сводятся к описанию соответствующих им инфинитезимальных операторов (Дынкин. 1959; Гихман. 1973). Немаловажно и то обстоятельство, что инфинитезимальный оператор входит в уравнения, позволяющие находить средние значения различных функционалов от процесса. Так, при некоторых предположениях функция

$$v(t, x)=\mathsf{E}_x\left[\exp \left\{\int_0^{t \wedge \zeta} c\left(x_s\right) d s\right\} f\left(x_{t \wedge \zeta}\right)\right],\quad t \geqslant 0,\quad x \in E,$$является единственным не слишком быстро растущим по $t$ решением задачи $v_t^{\prime}=A v+c v$, $v(0, x)=f(x)$, где $\mathrm{E}_x$ – математическое ожидание, отвечающее $P_x$, a $t \wedge \zeta=\min (t, \zeta)$.

Оператор $A$ родственен характеристическому оператору $\mathfrak{A}$ (Дынкин. 1959). Пусть $X$ – непрерывный справа марковский процесс в топологическом пространстве $E$. Для борелевской функции $f$ полагают

$$\mathfrak{A} f(x)=\lim _{U \downarrow x}\left[\frac{\mathsf{E}_x f\left(x_\tau\right)-f(x)}{\mathsf{E}_x \tau}\right],$$если предел существует для всех $x \in E$, где $U$ пробегает систему окрестностей точки $x$, стягивающихся к $x$, и где $\tau$ – момент первого выхода $X$ из $U$ (при $\mathsf{E}_x \tau=\infty$ дробь, стоящую под знаком предела, приравнивают нулю). Во многих случаях вычисление $Af$ сводится к вычислению $\mathfrak{A} f$.