Полугруппа переходных операторов

Полугру́ппа переходны́х опера́торов, полугруппа операторов, порождаемых переходной функцией марковского процесса. По переходной функции $P(t, x, A)$ однородного марковского процесса $X=\left(x_t,\zeta, \mathscr{F}_t, \mathsf{P}_x\right)$ в фазовом пространстве $(E, \mathscr{B})$ можно построить некоторые полугруппы линейных операторов $P^t$, действующих в том или ином банаховом пространстве $\mathbb{B}$. Чаще всего в роли $\mathbb{B}$ берут пространство $\mathbb{B}(E)$ ограниченных действительных функций $f$ на $E$ с равномерной нормой [а для феллеровского процесса $X$ – пространство $\mathbb{C}(E)$ непрерывных функций с той же нормой] или пространство $V(E)$ конечных счётно-аддитивных функций $\varphi$ на $\mathscr{B}$ с полной вариацией в качестве нормы. В первых двух случаях полагают

$$P^t f(x)=\int_E f(y) P(t, x, d y);$$в третьем

$$P^t\varphi(A)=\int_E P(t, y, A) \varphi(d y)$$(здесь $f$ и $\varphi$ принадлежат соответствующим пространствам, $x \in E$, $A \in \mathscr{B}$). Во всех этих случаях выполнено полугрупповое свойство: $P^t p^s=P^{t+s}$, $s, t \geqslant 0$, и любая из трёх полугрупп $\left\{P^t\right\}$ называется полугруппой переходных операторов.