Полигармони́ческая фу́нкция (гипергармоническая функция, метагармоническая функция) порядка $m$, функция $u(x)=u(x_1,\dots,x_n)$ действительных переменных, определённая в области $D$ евклидова пространства $\mathbb R^n$, $n\ge 2$, имеющая непрерывные частные производные до $2m$-го порядка включительно и удовлетворяющая всюду в $D$ полигармоническому уравнению$$\Delta^m u \equiv \Delta(\Delta\dots(\Delta u)) = 0,\quad m\ge 1,$$где $\Delta$ – оператор Лапласа. При $m=1$ получаются гармонические функции, при $m= 2$ – бигармонические функции. Каждая полигармоническая функция есть аналитическая функция от координат $x_j$. Некоторые другие свойства гармонических функций также переносятся с соответствующими изменениями на полигармонические функции.

Для полигармонических функций любого порядка $m > 1$ обобщаются представления при помощи гармонических функций, известные для бигармонических функций (см. Векуа. 1948; Привалов. 1937; Nicolesco. 1936; 1940; Tolotti. 1947). Например, для полигармонической функции $u$ двух переменных справедливо представление$$u(x_1,x_2) = \sum_{k=0}^{m-1} r^{2k} \omega_k (x_1,x_2),\quad r^2 = x_1^2+x_2^2,$$где $\omega_k$, $k=0,\dots,m-1$ – гармонические функции в области $D$. Для того чтобы функция $u(x_1,x_2)$ двух переменных была полигармонической функцией, необходимо и достаточно, чтобы она была действительной (или мнимой) частью полианалитической функции.

Основная краевая задача для полигармонической функции порядка $m>1$ состоит в следующем: найти полигармоническую функцию $u=u(x)$ в области $D$, непрерывную вместе с производными до $(m-1)$-го порядка включительно в замкнутой области $\overline D = D\bigcup C$ и удовлетворяющую на границе $C$ условиям:$$\left.\begin{aligned} u\Big|_C &= f_0(y),\\ \frac{\partial u}{\partial n}\Big|_C &= f_1(y),\dots, \frac{\partial^{m-1} u}{\partial n^{m-1}} \Big|_C = f_{m-1}(y),\quad y\in C \end{aligned}\right\} \tag{*}$$где $\partial u/\partial n$ – производная по нормали к $C$, а $f_0(y),\dots, f_{m-1}(y)$ – заданные достаточно гладкие функции на достаточно гладкой границе $C$. Многие исследования посвящены решению задачи $(*)$ в шаре пространства $\mathbb R^n$ (см. Векуа. 1948; Миранда. 1957). Для решения задачи $(*)$ в случае произвольной области применялся метод интегральных уравнений, а также различные вариационные методы (см. Векуа. 1948; Миранда. 1957).