Полианалити́ческая фу́нкция порядка $m$, комплексная функция $w=u+iv$ действительных переменных $x$ и $y$ или, что эквивалентно, независимых комплексных переменных $z=x+iy$ и $\overline z = x-iy$ в плоской области $D$, представимая в виде$$w = f(z,\overline z) = \sum_{k=0}^{m-1}\overline z^k f_k(z),\tag{1}$$где $f_k(z)$, $k=0,\dots,m-1$, – комплексные аналитические функции в $D$. Иначе, полианалитическую функцию $w$ порядка $m$ можно определить как функцию, имеющую в $D$ непрерывные частные производные по $x$ и $y$ или по $z$ и $\overline z$ до порядка $m$ включительно и удовлетворяющую всюду в $D$ обобщённому условию Коши – Римана:$$\frac{\partial^m w}{\partial \overline z^m} = 0.$$При $m=1$ получаются аналитические функции.

Для того чтобы функция $u=u(x,y)$ была действительной (или мнимой) частью некоторой полианалитической функции $w=u+iv$ в области $D$, необходимо и достаточно, чтобы $u$ была полигармонической функцией в $D$. На полианалитические функции переносятся с соответствующими изменениями некоторые классические свойства аналитических функций (см. Балк. 1970).

Полианалитической функцией мультипорядка $m = (m_1,\dots,m_n)$ от комплексных переменных $z_1,\dots,z_n$ и $\overline z_1,\dots,\overline z_n$ в области $D$ комплексного пространства $\mathbb C^n$, $n\ge 1$, называется функция вида$$w = \sum_{k_1,\dots,k_n=0}^{m_1-1,\dots,m_n-1} \overline z_1^{k_1}\dots \overline z_n^{k_n} \overline f_{k_1\dots k_n}(z_1,\dots,z_n),$$где $f_{k_1,\dots,k_n}$ – аналитические функции переменных $z_1,\dots, z_n$ в $D$.