Погруже́ние многообра́зия, непрерывное отображение $F: M^m \rightarrow N^n$ $m$-мерного многообразия $M^m$ в $n$-мерное многообразие $N^n$, такое что для каждой точки $x \in M^m$ существует окрестность $U_x$, для которой $F$ есть вложение, т. е. гомеоморфизм на $F\left(U_x\right) \subset N^n$. В частности, если $F$ есть гомеоморфизм на $F\left(M^m\right)$, то он называется вложением $M^m$ в $N^n$. Погружение $F$ называется $C^{l, \alpha}$-погружением, если $M^m$ и $N^n$ суть $C^{l, \alpha}$-гладкие многообразия ($l\geqslant 1$, $0\leqslant \alpha <1$, $m \leqslant n$) и отображение $F$ в соответствующих картах задаётся функциями

$$x^i=f^i\left(u^1, \ldots, u^m\right),\quad i=1, \ldots, n,$$принадлежащими классу гладкости $C^{l, \alpha}$, а ранг матрицы $\left\|\frac{d f^i}{d u^j}\right\|$ равен $m$ в каждой точке $x \in M^m$ ($C^{l, \alpha}$-гладкое многообразие – многообразие, наделённое $\Gamma$-структурой, где псевдогруппа состоит из $l$ раз дифференцируемых отображений, производные которых удовлетворяют условию Гёльдера с показателем $\alpha$).

К понятию погружения и $C^{l, \alpha}$-гладкого погружения непосредственно примыкают понятия поверхности и $C^{l, \alpha}$-гладкой поверхности. Погружения $F$ и $G$ многообразия $M$ в $N$ называются эквивалентными, если существует такой гомеоморфизм $\Phi: M \rightarrow M$, что $F=G \Phi$.

Погружённым многообразием называется пара, состоящая из многообразия $M$ и его погружения $F$; $m$-мерной поверхностью в $n$-мерном многообразии $N^n$ называется класс эквивалентных погружений $F: M^m \rightarrow N^n$; каждое погружение этого класса называется параметризацией поверхности. Поверхность называется $C^{l, \alpha}$-гладкой, если на многообразиях $M$ и $N$ можно ввести $C^{l, \alpha}$-структуры и если среди параметризаций поверхности найдётся такая параметризация $F$, которая в этих структурах есть $C^{l, \alpha}$-погружение.

Теория погружённых многообразий, как правило, особенно в тех случаях, когда рассматриваются вопросы, связанные с геометрией погружений, изучает свойства, инвариантные относительно введённого выше понятия эквивалентности, и по существу совпадает с теорией поверхностей.

Пусть $M^{m}$ есть $C^{l, \alpha}$-многообразие, $l\geqslant 1$, $0\leqslant \alpha <1$. Всякое $M^{m}$ допускает при $m \geqslant 1$ вложение в евклидово пространство $\mathbb{R}^{2 m}$ и $C^{l, \alpha}$-погружение в $\mathbb{R}^{2 m-1}$ при $m\geqslant 2$. Если $m$ положительно и не является степенью двойки, то всякое $M^{m}$ допускает $C^{l, \alpha}$-вложение в $\mathbb{R}^{2 m-1}$, в то же время при любом $m=2^s$ с $s \geqslant 0$ существуют замкнутые гладкие $m$-мерные многообразия, не допускающие даже топологического вложения в $\mathbb{R}^{2 m-1}$ (таково, например, проективное пространство). Если $M^m$ не имеет компактных компонент, то оно допускает $C^{l, \alpha}$-вложение в $\mathbb{R}^{2 m-1}$.

Ориентируемое $m$-мерное многообразие при $m \neq 1,4$ допускает $C^{l, \alpha}$-вложение в $\mathbb{R}^{2 m-1}$. Вопрос о возможности погружения $m$-мерного многообразия в $\mathbb{R}^{2 m}$ при $n<2 m-1$ связан с классами Уитни и классами Понтрягина этого многообразия. Известно также, что каждое $C^{l, \alpha}$-гладкое $m$-мерное многообразие c $l \geqslant 1$, $0 \leqslant \alpha<1$ допускает собственное (т. е. такое, что прообраз каждого компактного множества компактен) погружение в $\mathbb{R}^{2 m}$ и собственное вложение в $\mathbb{R}^{2 m+1}$. Если на $M^m$ задана риманова метрика, то часто рассматривают изометрическое погружение $M^m$ в $\mathbb{R}^n$ или другое риманово пространство $N^n$. $C^{l, \alpha}$-гладкое риманово многообразие, $l=2$, $0<\alpha<1$; $l>2$, $0 \leqslant \alpha<1$, допускает $C^{l, \alpha}$-гладкое изометрическое погружение в некоторое $\mathbb{R}^n$. В случае компактного $M^m$ число $n=(2 m+1)(6 m+14)$. Наоборот, $C^{l, \alpha}$-гладкое погружение ($l \geqslant 2$, $0<\alpha<1$) $M^m$ в $\mathbb{R}^{n}$ индуцирует на $M^m$ $C^{l, \alpha}$-гладкую риманову метрику (Сабитов. 1976).