Почти́ симплекти́ческая структу́ра, невырожденная дифференциальная $2$-форма на многообразии. Почти симплектическая структура $\Omega$ может существовать только на чётномерном многообразии $M(\operatorname{dim} M=2 m)$ и определяет $S p(m, \mathbb{R})$-структуру $B_{S p(m, \mathbb{R})}$, а именно главное расслоение реперов на $M$ со структурной группой $S p(m, \mathbb{R})$, состоящее из всех реперов $r=\{e_i, f_i, i=1, \ldots, m\}$, для которых

$$\Omega\left(e_i, e_j\right)=\Omega\left(f_i, f_j\right)=0, \Omega\left(e_i f_j\right)=\delta_{i j} .$$Необходимое и достаточное условие существования на многообразии $M$ почти симплектической структуры (так же, как и почти комплексной структуры) состоит в возможности редукции структурной группы касательного расслоения к унитарной группе $U(m)$. Для этого, в частности, необходимо обращение в нуль всех нечётномерных классов Штифеля – Уитни многообразия $M$ (Libermann. 1955).

Почти комплексная структура $J$ и риманова метрика $g$ на многообразии $M$ определяют почти симплектическую структуру $\Omega$ по формуле

$$\Omega(X, Y)=g(J X, Y)-g(X, J Y),$$где $X, Y$ – векторы, и любая почти симплектическая структура может быть получена таким образом. Почти симплектическая структура $\Omega$ называется интегрируемой или, иначе, симплектической структурой, если в окрестности любой точки в некоторых локальных координатах $x^i$, $y^i$, $i=1, \ldots, m$ она приводится к виду $\Omega=\Sigma d x^i \wedge d y^i$. Согласно теореме Дарбу, для этого необходимо и достаточно, чтобы форма $\Omega$ была замкнута. Пример интегрируемой почти симплектической структуры – каноническая симплектическая структура $\Omega=\Sigma d p_i \wedge d q^i$ на кокасательном расслоении $T^* M$ произвольного многообразия $M$ (здесь $q^i$ – локальные координаты многообразия $M$, $p_i$ – соответствующие координаты в слое). Примером неинтегрируемой почти симплектической структуры является левоинвариантная $2$-форма на полупростой группе Ли $G$, получающаяся разнесением левыми сдвигами произвольной невырожденной внешней $2$-формы на соответствующей группе $G$ алгебре Ли. Так же, как и риманова метрика, почти симплектическая структура определяет изоморфизм касательных и кокасательных пространств (а тем самым и пространств контравариантных и ковариантных тензоров), а также каноническую $2 m$-форму объёма $\eta=1 / m ! \Omega^m$ и ряд операторов в пространстве $\Lambda(M)$ дифференциальных форм: оператор $\varepsilon_{\Omega}$ внешнего умножения на $\Omega$; оператор $i_{\Omega}$ внутреннего умножения на $\Omega$; оператор звёздочки Ходжа $*$: $\Lambda^p(M) \rightarrow \Lambda^{2 m-p}(M)$, $\omega \rightarrow i_\omega \eta$, где оператор $i_\omega$ внутреннего умножения определяется как свёртка данной формы с $p$-вектором, соответствующим $p$-форме $\omega$; оператор кодифференцирования $\delta=* d *$. В отличие от риманова случая оператор $\Delta=d \delta+\delta d$ оказывается кососимметрическим относительно глобального скалярного произведения $\langle\alpha, \beta\rangle=\int_M \alpha \wedge * \beta$ в пространстве $p$-форм на компактном многообразии $M$. Для произвольной $p$-формы имеет место разложение Ходжа – Лепажа $\omega=\omega_0+\varepsilon_{\Omega} \omega_1+\varepsilon_{\Omega}^2 \omega_2+\ldots$, где $\omega_i \in \Lambda^{p-2 i}(M)$ – однозначно определённые эффективные (т. е. аннулируемые оператором $i_{\Omega}$) формы (Лычагин. 1979).

Почти симплектическая структура называется конформно плоской, если существует такая функция $\lambda>0$, что $d(\lambda \Omega)=0$. Это эквивалентно представимости формы $\Omega$ в виде:

$$\Omega=y^1 \sum_{i=1}^m d x^i \wedge d y^i .$$При $m=2$ необходимым и достаточным условием того, чтобы почти симплектическая структура $\Omega$ была конформно плоской, является замкнутость $1$-формы $\delta \Omega=i_{\Omega} d \Omega$, а при $m>2$ – выполнение равенства $d \Omega=(1 / m-1) \delta \Omega \wedge \Omega$ (Libermann. 1955).

Тензор $T$ типа $(1,2)$, соответствующий $3$-форме $d \Omega$ и определяемый равенством $\Omega\left(T_X Y, Z\right)=d \Omega(X, Y, Z)$, где $X, Y, Z$ – векторы, называется тензором кручения почти симплектической структуры $\Omega$. С ним ассоциируется, вообще говоря, вырожденная метрика $g(X, Y)=\operatorname{tr} T_X T_Y$. C произвольной почти симплектической структурой связывается класс линейных связностей $\vee$, аннулирующих форму $\Omega$ и имеющих тензор $T$ своим тензором кручения. Две такие связности отличаются на тензорное поле вида $\Omega^{i j} S_{j k l}$, где $S_{j k l}$ – произвольное симметрическое тензорное поле. Рассматриваемые связности взаимно однозначно соответствуют сечениям первого продолжения $B^1 \rightarrow B$ для $S p(m, \mathbb{R})$-структуры $B=B_{Sp(m, \mathbb{R})}$, являющегося главным расслоением реперов на $B$ со структурной группой $S^3\left(\mathbb{R}^{2 m}\right)$ (векторной группой однородных полиномов третьей степени от $2 m$ переменных). $S p(m, \mathbb{R})$-структура является $G$-структурой бесконечного типа. Поэтому группа автоморфизмов почти симплектической структуры может быть бесконечномерной. В частности, группа автоморфизмов симплектической структуры всегда бесконечномерна и является $k$-транзитивной группой для любого $k>0$.