Паралле́льное по́ле (ковариантно постоянное поле), поле тензоров $A$ на многообразии $M$ с линейной связностью $\nabla$, инвариантное относительно параллельного перенесения вдоль кривых на $M$. Это означает, что для любых точек $p, q \in M$ тензор $A_p$ (значение тензорного поля $A$ в точке $p$) при параллельном перенесении в точку $q$ вдоль любой гладкой кривой, соединяющей точки $p$ и $q$, переходит в тензор $A_q$.

Поле тензоров $A$ будет параллельным тогда и только тогда, когда его ковариантная производная по направлению любого векторного поля $X$ тождественно равна нулю: $\nabla_X A=0$ – или, иначе, когда ковариантный дифференциал $D A$ поля $A$ равен нулю.

Множество $\Pi(M, \nabla)$ параллельных полей образует подалгебру алгебры всех тензорных полей на многообразии $M$, инвариантную относительно свёрток тензорных полей и перестановок их индексов. Алгебра $\Pi(M, \nabla)$ естественным образом изоморфна алгебре тензоров в фиксированной точке $p$ многообразия $M$, инвариантных относительно однородной группы голономии $\Gamma_p$ связности $\nabla$ в точке $p$. Для связности с полной группой голономии $\Gamma=\mathrm{GL}(n, \mathbb{R})$, где $n= \operatorname{dim} M$, алгебра $\Pi(M, \nabla)$ порождается символом Кронекера $\delta^i_j$, для римановой связности с группой голономии $O(n)$ – метрическим тензором $g=\left(g_{i j}\right)$ и обратным к нему тензором $g^{-1}=\left(g^{i j}\right)$, а для римановой связности с группой голономии $\operatorname{SO}(n)$ – тензорами $g, g^{-1}$ и $n$-формой объёма. Описаны также образующие алгебры параллельных дифференциальных форм на произвольном пространстве линейной связности без кручения с любой неприводимой группой голономии (Berger. 1955).

Особый интерес представляют параллельные поля дифференциальных форм в римановом многообразии со связностью Леви-Чивиты. С каждой такой формой $\omega$ ассоциируется (с помощью операции свёртки) ряд линейных операторов в пространстве дифференциальных форм, перестановочных с оператором Бельтрами – Лапласа $\Delta$, например операторы внутреннего и внешнего умножения на форму $\omega$ или операторы ортогонального проектирования на инвариантные относительно группы голономии подпространства пространства дифференциальных форм. Изучение этих операторов позволяет получить оценки для размерностей пространств гармонических форм различных степеней, т. е. (в компактном случае) для чисел Бетти многообразия $M$ (Chern. 1957). Наиболее содержательная теория (см. в статье Теорема Ходжа) развита для кэлеровых и кватернионных римановых пространств, в которых всегда имеется параллельное поле 2- и 4-форм соответственно. Любая параллельная дифференциальная форма в римановом пространстве гармонична. В компактном симметрическом римановом пространстве верно и обратное: любая гармоническая форма параллельна. Поэтому кольцо вещественных когомологий компактного симметрического пространства изоморфно кольцу параллельных дифференциальных форм.

Поле тензоров $A$ является параллельным полем относительно некоторой линейной связности $\nabla$ тогда и только тогда, когда оно инфинитезимально однородно, т. е. когда в каждой точке $p$ многообразия $M$ существует репер, относительно которого тензор $A_p$ имеет фиксированные координаты $A_{j_1 \ldots j_l}^{i_1 \ldots i_k}$, не зависящие от точки $p$. В этом случае множество реперов, относительно которых тензоры $A_p$, $p \in M$, имеют координаты $A_{j_1 \ldots j_l}^{i_1 \ldots i_k}$, образует $G$-структуру, т. е. главное подрасслоение $P(A)$ расслоения реперов со структурной группой $G$, являющейся стабилизатором точки $A_p$ при действии группы $\mathrm{GL}(n, \mathbb{R})$ в пространстве тензоров. Поле $A$ параллельно относительно любой связности в $G$-структуре $P(A)$. В частности, любое сечение расслоения $P(A)$ (если оно существует) задаёт связность с нулевой кривизной, относительно которой поле $A$ параллельно.

Более сложным является вопрос о существовании связности без кручения, относительно которой данное инфинитезимально однородное поле параллельно. Если поле A является псевдоримановой метрикой, то такая связность (связность Леви-Чивита) всегда существует и единственна. Оказывается, что этот случай является исключительным: если для некоторого тензорного поля $A$ существует единственная связность без кручения, относительно которой оно параллельно, то структурная группа $G$ $G$-структуры $P(A)$ является псевдоортогональной группой и, следовательно, с полем $A$ каноническим образом ассоциируется псевдориманова метрика (Kobayashi. 1965). Для широкого класса инфинитезимально однородных тензорных полей $A$ наличие связности без кручения, относительно которой поле параллельно, влечёт за собой интегрируемость поля $A$, т. е. существование локальной системы координат, в которой координаты поля $A$ постоянны. Это верно, например, для почти комплексной структуры, почти симплектической структуры и для любого поля $A$, для которого структурная группа $G$ расслоения $P(A)$ неприводима и не принадлежит известному списку неприводимых групп голономии пространств линейной связности без кручения (Berger. 1955).