Ме́тод ве́рхних и ни́жних фу́нкций, метод доказательства существования решения краевых задач для дифференциальных уравнений. Идея метода верхних и нижних функций для случая обыкновенных дифференциальных уравнений усматривается в работах Дж. Пеано (G. Peano, 1880), для случая задачи Дирихле и для уравнения Лапласа – в методе выметания А. Пуанкаре; первое полное изложение метода верхних и нижних функций для этого последнего случая дано О. Перроном (Perron. 1923).

Пусть поставлена задача Дирихле в области $G$ пространства $\mathbb{R} ^n$, $n \geqslant 2$, для линейного однородного эллиптического уравнения $2$-го порядка с непрерывными коэффициентами вида$$\tag{1} Lu \equiv \sum_{ i,j= 1}^n a_{ij} \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j} + \sum_{i=1}^n b_i \frac{\partial u}{\partial x_i} + cu = 0,$$$$c \leqslant 0, \quad x \in G,$$с краевым условием$$\tag{2} u (x) = f (x),\quad x \in \partial G.$$Метод верхних и нижних функций состоит в том, что, в предположении разрешимости задачи $(1)$, $(2)$ в малом, вводятся обобщённые супергармонические функции (соответственно субгармонические). Непрерывная на области $G$ функция $v$ называется обобщённой супергармонической функцией (соответственно субгармонической) в области $G$, если для любого достаточно малого шара $K$, $\overline{K} \subset G$, справедливо неравенство $(v) _ {k} \leqslant v$ $($соответственно $(v) _ {k} \geqslant v)$, где $(v) _ {k}$ – непрерывная на $G$ функция, равная $v$ вне $K$ и на его границе и удовлетворяющая внутри $K$ уравнению $(1)$. Для непрерывной на границе $\partial G$ функции $f$ обобщённая супергармоническая (соответственно субгармоническая) функция $v$ называется верхней (соответственно нижней), если для $x \in \partial G$ справедливо неравенство $v(x) \geqslant f(x)$ $($соответственно $v(x) \leqslant f(x))$.

Классы $\Phi (G, f)$ и $\Psi (G, f)$ всех, соответственно, верхних и нижних функций не пусты, причём если $v \in \Phi (G, f)$ и $w \in \Psi (G, f)$, то $v \geqslant w$ (Курант. 1964). Обобщённое решение задачи Дирихле определяется как нижняя огибающая класса $\Phi (G, f)$ или как верхняя огибающая класса $\Psi (G, f)$:$$\tag{3} \begin{array}{c} u (x) = \inf \{ {v (x) } ; \ {v \in \Phi (G, f) } \} = \sup \{ w (x); \ w \in \Psi (G, f) \} ,\quad x \in G. \end{array}$$Если граница $\partial G$ допускает существование барьера в каждой своей точке, то $u(x) = f(x)$ всюду на $\partial G$, т. е. $u$ – классическое решение задачи Дирихле. В общем случае поведение обобщённого решения $(3)$ эллиптического уравнения $(1)$ в точках границы совершенно аналогично поведению обобщённого решения уравнения Лапласа; см. метод Перрона.

Метод верхних и нижних функций применяется также при исследовании первой краевой задачи для линейного однородного параболического уравнения $2$-го порядка вида$$Lu -\frac{\partial u }{\partial t } = 0, \quad (x, t) \in G \times [ 0, T],$$с начальным условием$$u (x, 0) = f (x, 0),\quad x \in G,$$и краевым условием$$u (x, t) = f (x, t),\quad (x, t) \in \partial G \times [ 0, T],$$если ввести суперпараболические (субпараболические) функции, аналогичные по своим свойствам обобщённым супергармоническим (субгармоническим) функциям (Смирнов. 1957).