Лине́йное параболи́ческое уравне́ние и систе́ма, дифференциальное уравнение (и система) с частными производными вида

$$\frac{\partial^{k_i} u_i}{\partial{t}^{k_i}}= \sum_{j=1}^N \sum_{p s_0+|s|<p k_j} A_{s_0 s}^{i j}(x, t) \frac{\partial^{s_0}}{\partial t^{s_0}} \frac{\partial^s}{\partial x^s} u_j+f_i(x, t), \tag{1}$$где $1 \leqslant i \leqslant N$, $k_0, \ldots, k_N$ – натуральные, $p$ – целое, $s=\left(s_1, \ldots, s_n\right)$, $|s|=s_1+\ldots+s_n$, рассматриваемое в области $D$ переменных $(x, t)=\left(x_1, \ldots, x_n, t\right)$. Система (1) называется параболической (по Петровскому) в точке $\left(x^0, t^0\right) \in D$, если корни $\lambda_m(\xi, x, t)$, $1 \leqslant m \leqslant k_1+ \ldots+k_N$, многочлена по $\lambda$

$$\operatorname{det}\left(\sum_{p s_0+|s|=p k_j} A_{s_0 s}^{i j} \lambda^{s_0}(i \xi)^s-\delta_{i j} \lambda^{k_i}\right)$$удовлетворяют неравенству

$$\sup _{m,|\xi|=1} \operatorname{Re} \lambda_m\left(\xi, x^0, t^0\right)<0. \tag{2}$$Здесь $(i \xi)^s=\left(i \xi_1\right)^{s_1} \ldots\left(i \xi_n\right)^{s_n}$ с мнимой единицей $i$ и $\delta_{i j}$ – символ Кронекера.

Система (1) параболичеcкая в $D$, если неравенство (2) выполняется для всех $(x, t) \in D$, и равномерно параболическая в $D$, если

$$\sup _{m,|\xi|=1,(x, t) \in D} \operatorname{Re} \lambda_m(\xi, x, t)<-\delta$$с некоторой постоянной $\delta>0$.

Для случая уравнения 2-го порядка

$$\sum_{i, j=0}^n c_{i j} u_{x_i x_j}+\sum_{i=0}^n c_i u_{x_i}+c u=h \tag{3}$$можно дать другое определение параболичности. Для заданной точки $x^0=\left(x_0^0, \ldots, x_n^0\right)$ существует аффинное преобразование, приводящее (3) к виду

$$\sum_{i, j=0}^n b_{i j} v_{x_i x_j}+\sum_{i=0}^n b_i v_{x_i}+b v=g,$$где $b_{i j}\left(x^0\right)=0$ при $i \neq j$. Уравнение (3) параболическое в точке $x^0$, если одно из $b_{i i}\left(x^0\right)$ [пусть $b_{00}\left(x^0\right)=0$] равно нулю, остальные $b_{i i}\left(x^0\right) \neq 0$, $i>0$, и имеют одинаковые знаки и $b_0\left(x^0\right) \neq 0$. Уравнение (3) параболическое в области $D$, если оно параболическое в каждой её точке. Если коэффициенты параболического в $D$ уравнения (3) достаточно гладкие, то в окрестности каждой точки $x^0 \in D$ невырожденной заменой переменных его можно привести к виду

$$u_t-\sum_{i, j=1}^n a_{i j} u_{x_i x_j}+\sum_{i=1}^n a_i u_{x_i}+a u=f \tag{4}$$с положительно определённой формой $\sum a_{i j} \xi_i \xi_j$.

Типичным представителем параболического уравнения является уравнение теплопроводности

$$u_t-\sum_{i=1}^n u_{x_i x_i}=0, \tag{5}$$основные свойства которого сохраняются и для общих параболических уравнений.

Для уравнения (4) основными являются следующие задачи.

Задача Коши – Дирихле: найти функцию $u(x, t)$, которая при $x \in \mathbb{R}^n$, $t>0$ удовлетворяет уравнению (4), а при $t=0$ – начальному условию

$$\left.u\right|_{t=0}=\varphi(x), \quad x \in \mathbb{R}^n.$$Первая краевая задача, в которой уравнение (4) задано в цилиндре

$$\bar{Q}_T=\bar{\Omega} \times [0, T],$$где $\Omega$ – некоторая область пространства $\mathbb{R}^n$. Требуется найти функцию $u$, удовлетворяющую уравнению (4), начальному условию

$$\left.u\right|_{t=0}=\varphi(x), \quad x \in \Omega,$$и краевому условию

$$\left.u\right|_{x \in \partial \Omega,\, 0 \leqslant t \leqslant T}=\psi(x, t).\tag{6}$$Вторая и третья краевые задачи отличаются от первой лишь условием (6), которое заменяется вторым краевым условием

$$\left.\frac{\partial u}{\partial N}\right|_{x \in \partial \Omega, \, 0 \leqslant t \leqslant T} = \sum_{i, j=1}^n a_{i j} u_{x_i} \nu_i=\psi(x, t)$$или соответственно третьим

$$\left(\frac{\partial u}{\partial N}+\sigma u\right)_{x \in \partial \Omega, \, 0 \leqslant t \leqslant T}=\psi(x, t),$$где $\nu_i$, $1 \leqslant i \leqslant n$, – компоненты внешней нормали.

Классическая постановка указанных задач требует от решения непрерывности в замкнутой области, непрерывности вторых производных внутри и в случае второй и третьей краевых задач непрерывности первых производных вплоть до боковой поверхности цилиндра $\Omega$. Кроме того, для задачи Коши – Дирихле, а в случае неограниченности $\Omega$ и для краевых задач требуется ограниченность решения $u$ при $|x| \rightarrow \infty$ (или, более общо, надлежащим образом заданный рост $|u|$).

Пусть уравнение (4) равномерно параболическое, коэффициенты уравнения, начальных и краевых условий и граница области достаточно гладки. Тогда решения задачи Коши – Дирихле и первой краевой задачи существуют и единственны. Если $a \leqslant 0$, $\sigma>0$ и выполнены необходимые условия согласования, то аналогичный результат справедлив и для второй и третьей краевых задач.

Единственность указанных задач следует из принципа максимума. Пусть коэффициенты уравнения (4) непрерывны в $\overline{Q}_T$, область $\Omega$ ограничена,

$$\Gamma=\partial Q_T \backslash\{(x, t) \mid x \in \Omega,\, t=T\}$$и

$$M=\max _{\overline{Q}_T} a, \quad N=\max _{\overline{Q}_T}|f|.$$Тогда для любого решения

$$u \in C\left(\overline{Q}_T\right) \cap C^2\left(\overline{Q}_T \backslash \Gamma\right)$$уравнения (4) справедлива оценка

$$|u(x, t)| \leqslant e^{M t}\left(N t+\max_{\Gamma}|u|\right), \quad(x, t) \in Q_T.$$Принцип максимума допускает распространение и на случай неограниченных областей. Кроме того, для параболических уравнений имеет место аналог принципа Заремба – Жиро о знаке наклонной производной в точке экстремума, известного в теории эллиптических уравнений.

В теории параболических уравнений важную роль играют фундаментальные решения. В случае уравнения теплопроводности (5) им является функция

$$w(x, t, \xi, \tau)=\frac{1}{2 \sqrt{\pi(t-\tau)}} e^{-\frac{(x-\xi)^2}{4(t-\tau)}},$$при $t>\tau$ удовлетворяющая уравнению (5), причём для любой ограниченной непрерывной в $\mathbb{R}^n$ функции $\varphi(x)$

$$\lim _{t \rightarrow \tau+0} \int_{\mathbb{R}^n} w(x, t, \xi, \tau) \varphi(\xi)\, d \xi=\varphi(x)$$равномерно на компактных подмножествах точек $x \in \mathbb{R}^n$. В частности, при $\tau=0$ получается решение

$$u(x, t)=\int_{\mathbb{R}^n} w(x, t, \xi, 0) \varphi(\xi)\, d \xi \tag{7}$$задачи Коши – Дирихле. На значение решения $u$ в точке $(x, t), t>0$, влияют все значения функции. Это служит выражением того факта, что возмущения задачи Коши – Дирихле распространяются с бесконечной скоростью. В этом существенное отличие параболических уравнений от гиперболических, где скорость распространения возмущений конечна.

Фундаментальные решения могут быть построены и для общих параболических уравнений и систем при весьма широких предположениях относительно гладкости коэффициентов.