Ме́тод Ша́удера, метод решения краевых задач для линейных равномерно эллиптических уравнений 2-го порядка, в основе которого лежат априорные оценки и метод продолжения по параметру.

Метод Шаудера решения задачи Дирихле для линейного равномерно эллиптического уравнения$$\tag{1}L u \equiv a^{i j}(x) u_{x_i x_j}+b^j(x) u_{x_j}+b(x) u=f(x),$$заданного в ограниченной области $\Omega$ евклидова пространства точек $x=\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)$ и с коэффициентом $b(x) \leqslant 0$, описывается следующим образом.

1. Вводятся пространства $C_\alpha(\Omega)$, $C_{1+\alpha}(\Omega)$, $C_{2+\alpha}(\Omega)$ как множества функций $u=u(x)$ с конечными нормами$$\begin{gathered} \|u\|_{C_\alpha(\Omega)}=\sup _{x \in \Omega}|u(x)|+\sup _{x, y} \frac{u(x)-u(y)}{|x-y|^\alpha},\quad 0<\alpha<1, \\ \|u\|_{C_{1+\alpha}(\Omega)}=\|u\|_{C_\alpha(\Omega)}+\sum_{i=1}^n\left\|u_{x_i}\right\| C_\alpha(\Omega), \\ \|u\|_{C_{2+\alpha}}(\Omega)=\|u\|_{C_{1+\alpha}(\Omega)}+\sum_{i, j=1}^n\left\|u_{x_i, x_j}\right\| C_\alpha(\Omega). \end{gathered}$$2. Предполагается, что граница $\sigma$ области $\Omega$ принадлежит классу $C_{2+\alpha}$, т. е. каждый элемент $\sigma_x(n-1)$-мерной поверхности $\sigma$ может быть отображён на часть плоскости с помощью преобразования координат $y=y(x)$ c положительным якобианом, причём функция $y(x) \in C_{2+\alpha}\left(\sigma_x\right)$.

3. Доказывается, что если коэффициенты уравнения (1) принадлежат пространству $C_\alpha(\Omega)$ и функция $u \in C_{2+\alpha}(\Omega)$, то справедлива априорная оценка вплоть до границы$$\tag{2}\|u\|_{C_{2+\alpha}(\Omega)} \leqslant C\left[\|L u\|_{C_\alpha(\Omega)}+\|u\|_{C_{2+\alpha}(\Omega)}+\|u\|_{C_0(\Omega)}\right],$$где постоянная $C$ зависит только от $\Omega$, постоянной эллиптичности $m \leqslant a^{i j}(x) \xi_i \xi_j /|\xi|^2$, $\xi \neq 0$, и норм коэффициентов оператора $L$, $$a\|u\|_{C_0(\Omega)}=\sup _{x \in \Omega}|u(x)|.$$4. Считается известным метод доказательства существования решения $u \in C_{2+\alpha}(\Omega)$ задачи Дирихле$$\left.u\right|_\sigma=\varphi(x) \in C_{2+\alpha}(\Omega)$$для оператора Лапласа $\Delta=\sum_{i=1}^n \partial^2 / \partial x_i^2$.

5. Не нарушая общности, полагается $\varphi(x) \equiv 0$ и затем реализуется метод продолжения по параметру, сущность которого состоит в том, что:

5$_1$. Оператор $L$ вкладывается в однопараметрическое семейство операторов$$L_t u=t L u+(1-t) \Delta u,\quad 0 \leqslant t \leqslant 1,\quad L_0=\Delta.$$5$_2$. Существенно опираясь на априорную оценку (2), устанавливается, что множество $T$ тех значений параметра $t \in[0,1]$, для которых задача Дирихле $L_t u=f(x)$, $\left.u\right|_\sigma=0$ имеет решение $u \in C_{2+\alpha}(\Omega)$ при любых $f \in C_\alpha(\Omega)$ является одновременно открытым и, стало быть, совпадает с единичным отрезком $[0,1]$.

6. Доказывается, что если $D$ – ограниченная область, содержащаяся в $\Omega$ вместе со своим замыканием, то для любой функции $u \in C_{2+\alpha}(D)$ и каждой компактной подобласти $\omega \subset D$ справедлива внутренняя априорная оценка:$$\tag{3}\|u\|_{C_{2+\alpha}(\Omega)} \leqslant C\left[\|L u\|_{C_\alpha(D)}+\|u\|_{C_0(D)}\right].$$7. Равномерно аппроксимируя заданные функции $\varphi$ и $f$ с помощью функций из класса $C_{2+\alpha}$ и применяя оценку (3), показывается существование решения задачи Дирихле для любой непрерывной граничной функции и широкого класса областей с негладкими границами, например для областей, представимых как объединение последовательностей областей $\Omega_1 \subset \Omega_2 \subset \ldots \subset \Omega_j \subset \Omega_{j+1} \subset \ldots$, границы которых имеют такую же гладкость, что и $\sigma$.

Оценки 2 и 3 получены впервые Ю. П. Шаудером (Numerische Abschätzungen... 1934, Über lineare elliptische Differentialgleichungen... 1934) и носят его имя. Оценки Шаудера и его метод обобщены на уравнения и системы высшего порядка. Соответствующие им как внутренние, так и вплоть до границы априорные оценки иногда называются оценками шаудеровского типа. Дальнейшим развитием метода Шаудера является метод априорных оценок.