Ма́трица Яко́би дифференци́руемого отображе́ния $f$ в точке $x_0$, матрица $\mathbf J$, составленная из частных производных в точке $x_0$ отображения $f: X\subseteq \mathbb R^n \to \mathbb R^m$, имеющего в $x_0\in X$ все частные производные 1-го порядка, обобщение понятия производной на многомерный случай. Пусть $f = (f^1,\dots, f^m)$, $x = (x^1,\dots,x^n)$. Тогда

$$\mathbf J_f(x_0) = \Big\| \frac{\partial f^i}{\partial x^j}(x_0)\Big\| = \begin{Vmatrix} \frac{\partial f^1}{\partial x^1}(x_0) & \ldots & \frac{\partial f^1}{\partial x^n}(x_0) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f^m}{\partial x^1}(x_0) & \ldots & \frac{\partial f^m}{\partial x^n}(x_0) \end{Vmatrix}.$$Матрица Якоби определяет линейное отображение $\mathbb R^n\to \mathbb R^m$; для дифференцируемого в точке $x_0$ отображения $f$ матрица Якоби есть линейная часть этого отображения:

$$f(x_0+h)-f(x_0) = \mathbf J_f(x_0) h + o(||h||), \tag{*}$$причём если линейное отображение $\mathbb R^n \to \mathbb R^m$, заданное матрицей Якоби, осуществляет мономорфизм (эпиморфизм или изоморфизм), то существуют такие окрестности $\mathcal U_{x_0} \subset X$ точки $x_0\in\mathbb R^n$ и $\mathcal V_{f(x_0)}$ точки $f(x_0)\in \mathbb R^m$, что отображение $f: \mathcal U_{x_0} \to \mathcal V_{f(x_0)}$ инъективно (соответственно, сюръективно или биективно), иными словами, дифференцируемое отображение локально наследует свойства инъективности, сюръективности и биективности своей линейной части (см. также Неявная функция). Выражение $\mathbf J_f(x_0) h$ в (*) называют дифференциалом отображения $f$ в точке $x_0$ при приращении $h$.

Матрица Якоби сохраняет многие свойства производной функции, например, для композиции отображений справедлив аналог утверждения о производной композиции функций: пусть $f: \mathbb R^n \to \mathbb R^m$ дифференцируемо в точке $x_0\in\mathbb R^n$, $g: \mathbb R^m \to \mathbb R^k$ дифференцируемо в точке $f(x_0)\in\mathbb R^m$. Тогда

$$\mathbf J_{g\circ f}(x_0) = \mathbf J_{g}(f(x_0)) \mathbf J_f(x_0).$$В частном случае $m=1$ матрицу Якоби отображения $f$ называют также градиентом функции $f$.

Важнейшее (в том числе для приложений) значение имеет определитель матрицы Якоби в случае $m=n$.