Лока́льно коне́чное семе́йство, семейство подмножеств топологического пространства, обладающее свойством: каждая точка этого пространства имеет окрестность, пересекающуюся лишь с конечным числом элементов данного семейства. Более точно, индексированное семейство подмножеств $\{A_s\}_{s\in S}$ топологического пространства $X$ называется локально конечным в нём, если для каждой точки $x\in X$ существует такая окрестность $U$, что множество $\{s\in S:U\cap A_s\neq\varnothing\}$ конечно.

Любое подсемейство локально конечного семейства само локально конечно. Семейство $\{A_s\}_{s\in S}$ локально конечно тогда и только тогда, когда локально конечно семейство $\{\overline{A_s}\}_{s\in S}$ (т. е. семейство, состоящее из замыканий его элементов). Если $f:X\rightarrow Y$ – непрерывное отображение, и $\{A_s\}_{s\in S}$ – локально конечное семейство в пространстве $Y$, то семейство $\{f^{-1}\left(A_s\right)\}_{s\in S}$ локально конечно в $X$.

Каждое локально конечное семейство консервативно.

Примеры. 1. Любое конечное семейство локально конечно; в строгом смысле свойство локальной конечности зависит от индексации семейства множеств: так, если $A$ – непустое подмножество пространства $X$, то одноэлементное семейство $\{A\}$ локально конечно, но семейство $\{A_s\}_{s\in S}$, где $S$ – бесконечное множество и $A_s=A$ для всех $s\in S$, локально конечным не является.

2. Семейство $\{A_n\}_{n=1}^\infty$ подмножеств вещественной прямой $\mathbb{R}$, где $A_n=\{x:n<x<n+1\}$ при $n=1,2,\ldots$, бесконечно и локально конечно в $\mathbb{R}$.

3. Семейство $\{A_n\}_{n=1}^\infty$, где $A_n=\left\{\dfrac{1}{n}\right\}$ при $n=1,2,\ldots$ – одноэлементное множество, состоит из попарно не пересекающихся замкнутых множеств и не является локально конечным в $\mathbb{R}$; вместе с тем оно является локально конечным в полуинтервале $\left(0,1\right]$.

4. Семейство $\{A_n\}_{n=1}^\infty$, где $A_n=\left\{x:0<x<\dfrac{1}{n}\right\}$ при $n=1,2,\ldots$, консервативно, точечно конечно, но не локально конечно в $\mathbb{R}$.

5. Семейство замкнутых подмножеств топологического пространства локально конечно в том и только том случае, если оно консервативно и точечно конечно.

Локально конечные семейства играют фундаментальную роль в общей топологии (особенно в теории паракомпактных пространств и теории размерности).

Свойство локальной конечности для открытых покрытий топологических пространств было впервые рассмотрено П. С. Александровым (Alexandroff. 1924; русский перевод: Александров. 1978. С. 71–74) и стало одним из важнейших понятий общей топологии после работы Ж. Дьёдонне о паракомпактных пространствах (Dieudonne. 1944), где оно было заново применено.