Локально конечное семейство

Лока́льно коне́чное семе́йство, семейство подмножеств топологического пространства, обладающее свойством: каждая точка этого пространства имеет окрестность, пересекающуюся лишь с конечным числом элементов данного семейства. Более точно, индексированное семейство подмножеств ${\displaystyle \{A_{s}\}_{s\in S}}$ топологического пространства ${\displaystyle X}$ называется локально конечным в нём, если для каждой точки ${\displaystyle x\in X}$ существует такая окрестность ${\displaystyle U}$, что множество ${\displaystyle \left\{s\in S:U\cap A_{s}\neq \varnothing \right\}}$ конечно.

Любое подсемейство локально конечного семейства само локально конечно. Семейство ${\displaystyle \{A_{s}\}_{s\in S}}$ локально конечно тогда и только тогда, когда локально конечно семейство ${\displaystyle \{{\overline {A_{s}}}\}_{s\in S}}$ (т. е. семейство, состоящее из замыканий его элементов). Если ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ – непрерывное отображение, и ${\displaystyle \{A_{s}\}_{s\in S}}$ – локально конечное семейство в пространстве ${\displaystyle Y}$, то семейство ${\displaystyle \{f^{-1}\left(A_{s}\right)\}_{s\in S}}$ локально конечно в ${\displaystyle X}$.

Каждое локально конечное семейство консервативно.

Примеры. 1. Любое конечное семейство локально конечно; в строгом смысле свойство локальной конечности зависит от индексации семейства множеств: так, если ${\displaystyle A}$ – непустое подмножество пространства ${\displaystyle X}$, то одноэлементное семейство ${\displaystyle \left\{A\right\}}$ локально конечно, но семейство ${\displaystyle \{A_{s}\}_{s\in S}}$, где ${\displaystyle S}$ – бесконечное множество и ${\displaystyle A_{s}=A}$ для всех ${\displaystyle s\in S}$, локально конечным не является.

2. Семейство ${\displaystyle \{A_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ подмножеств вещественной прямой ${\displaystyle \mathbb {R} }$, где ${\displaystyle A_{n}=\{x:n<x<n+1\}}$ при ${\displaystyle n=1,2,\ldots }$, бесконечно и локально конечно в ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

3. Семейство ${\displaystyle \{A_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$, где ${\displaystyle A_{n}=\left\{{\dfrac {1}{n}}\right\}}$ при ${\displaystyle n=1,2,\ldots }$ – одноэлементное множество, состоит из попарно не пересекающихся замкнутых множеств и не является локально конечным в ${\displaystyle \mathbb {R} }$; вместе с тем оно является локально конечным в полуинтервале ${\displaystyle \left(0,1\right]}$.

4. Семейство ${\displaystyle \{A_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$, где ${\displaystyle A_{n}=\left\{x:0<x<{\dfrac {1}{n}}\right\}}$ при ${\displaystyle n=1,2,\ldots }$, консервативно, точечно конечно, но не локально конечно в ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

5. Семейство замкнутых подмножеств топологического пространства локально конечно в том и только том случае, если оно консервативно и точечно конечно.

Локально конечные семейства играют фундаментальную роль в общей топологии (особенно в теории паракомпактных пространств и теории размерности).

Свойство локальной конечности для открытых покрытий топологических пространств было впервые рассмотрено П. С. Александровым (Alexandroff. 1924; русский перевод: ^[1] С. 71–74) и стало одним из важнейших понятий общей топологии после работы Ж. Дьёдонне о паракомпактных пространствах (Dieudonne. 1944), где оно было заново применено.