Когомоло́гии Ве́йля, когомологии алгебраических многообразий с коэффициентами в поле нулевой характеристики, обладающие формальными свойствами, необходимыми для получения формулы Лефшеца для числа неподвижных точек. Необходимость такой теории была высказана А. Вейлем (Weil. 1949), показавшим, что рациональность дзета-функций многообразия и $L$-функций многообразия над конечным полем следует из формулы Лефшеца, а остальные гипотезы о $\zeta$-функции естественно формулируются в когомологических терминах. Пусть многообразие $X$ есть связная гладкая проективная схема над фиксированным алгебраически замкнутым полем $k$ и пусть $K$ – некоторое поле характеристики $0$. Тогда когомологиями Вейля с полем коэффициентов $K$ называется контравариантный функтор $X \to H^* (X)$ из категории многообразий в категорию конечномерных градуированных антикоммутативных $K$-алгебр, удовлетворяющий следующим условиям:

1) Если $n=\dim X$, то $H^{2n} (X)$ изоморфно $K$, и отображение

$$H^i(X) \times H^{2n–i}(X) \to H^{2n}(X),$$определённое умножением в $H^*(X)$, невырождено при всех $i$.

2) $H^*(X) \otimes_K H^*(Y) \widetilde \rightarrow H^*(X \times Y)$ (формула Кюннета).

3) Отображение циклов. Существует функториальный гомоморфизм $\gamma_X$ группы $C^p(X)$ алгебраических циклов $X$ коразмерности $p$ в $H^{2p}(X)$, переводящий прямое произведение циклов в тензорное произведение, и нетривиальный в том смысле, что (для точки $P$) $\gamma_P$ превращается в каноническое вложение $\mathbb{Z}$ в $K$.

$$b_i(X) = \dim_K H^i(X)$$называется $i$-м числом Бетти многообразия $X$.

Примеры. Если $k = \mathbb{C}$, то классические когомологии комплексных многообразий с коэффициентами в $\mathbb{C}$ являются когомологиями Вейля. Если $l$ – простое число, отличное от характеристики поля $k$, то этальные $l$-адические когомологии

$$X \mapsto [\lim_{\nu} H_{\mathrm{et}}^* (X, \mathbb{Z} / l^{\nu} \, \mathbb{Z}] \otimes_{\mathbb{Z}_l} Q_l$$являются когомологиями Вейля с коэффициентами в поле $Q_l$. Для когомологий Вейля верна формула Лефшеца

$$\langle u \cdot \Delta \rangle = \sum_{i=0}^{2n} (–1)^i \; \mathrm{Tr} (u_i),$$где $\langle u \cdot \Delta \rangle$ – индекс пересечения в $X \times X$ графика $\Gamma$ морфизма $u$ с диагональю $\Delta \subset X \times X$, интерпретируемый также как число неподвижных точек эндоморфизма $u$, а $\mathrm{Tr} (u_i)$ – след эндоморфизма $u_i$, являющегося ограничением и на $H^i(X)$. Более того, эта формула верна также для соответствий, т. е. элементов $u \in H^{2n} (X \times X)$.