Интегри́рование по частя́м, один из способов вычисления интеграла, состоящий в представлении интеграла от выражения вида $u(x)\, d v(x)$ через интеграл от $v(x)\,d u(x)$. Для определённого интеграла формула интегрирования по частям имеет вид

$$\int_a^b u(x)\,d v(x)=u(b) v(b)-u(a) v(a) -\int_a^b v(x)\,d u(x) \tag{1}$$и справедлива в предположении, что функции $u(x)$ и $v(x)$ и их производные $u^{\prime}(x)$ и $v^{\prime}(x)$ непрерывны на $a \leqslant x \leqslant b$.

Аналогом этой формулы для неопределённого интеграла является соотношение

$$\int u(x)\,d v(x)=u(x) v(x)-\int v(x)\, d u(x).$$Аналогом формулы (1) для кратных интегралов является соотношение

$$\int_D u \frac{\partial v}{\partial x_k} \,d x=\oint_{\Gamma} u v \cos \left(\widehat{x_k, n}\right)\, d s-\int_D v \frac{\partial u}{\partial x_k}\,d x, \tag{2}$$где $D$ – область в пространстве $\mathbb{R}^ m$ с гладкой (или хотя бы кусочно-гладкой) границей $\Gamma$, $x=\left(x_1, x_2, \ldots, x_m\right)$, $\left(\widehat{x_k, n}\right)$ – угол между осью $O x_k$ и внешней нормалью к поверхности $\Gamma$. Формула (2) справедлива, например, для непрерывных в $D\cup \Gamma$ функций $u(x)$ и $v(x)$ и их частных производных 1–го порядка. Если интегралы в формуле (2) понимаются в смысле Лебега, то для справедливости этой формулы достаточно, чтобы $u(x)$ и $v(x)$ принадлежали пространству Соболева $u(x) \in W_p^1(D)$, $v(x) \in W_q^1(D)$ при любых $p \geqslant 1$, $q \geqslant 1$ таких, что $\frac{1}{p}+\frac{1}{q} \leqslant 1+\frac{1}{m}$.