$\textbf{g}$-ади́ческие чи́сла, элементы кольца $g$-адических чисел, которое представляет собой пополнение поля рациональных чисел $\mathbb{Q}$ по $g$-адическому псевдонормированию.

Пусть $g$ – натуральное число, большее $1$. Для любого рационального числа, заданного неприводимой дробью $\frac{a}{b}$, существует единственное целое число $f$, удовлетворяющее условиям $$g^f\frac{a}{b} = \frac{A}{B} ,$$где $A,B$ – целые числа, причём наибольший общий делитель $НОД(A,B)=1$, $НОД(g,B)=1$, $g$ не делит число $A$. Тогда полагают $$| \frac{a}{b} |_g=g^f$$и называют эту величину $g$-адическим псевдонормированием поля рациональных чисел. В случае когда $g=p$, $p$ – простое число, получаем $p$-адическое нормирование.

$g$-адическое псевдонормирование обладает следующими свойствами: $|0|_g=0$ и для любых рациональных чисел $\alpha,\beta$ $$|\alpha\pm\beta|_g\ \leq \max \ { \{ |\alpha|_g,|\beta|_g\} },$$т. е. это неархимедово псевдонормирование, и $|\alpha\beta|_g\le|\alpha|_g\ |\beta|_g$. В случае когда $g=p$, $p$ – простое число, $|\alpha\beta|_g=|\alpha|_g\ |\beta|_g$. Как отмечено выше, пополнение поля рациональных чисел $\mathbb{Q}$ по $g$-адическому псевдонормированию называется кольцом $g$-адических чисел и обозначается

$\mathbb{Q}_g$. Каноническое представление элемента $\mathbb{Q}_g$ имеет вид

$$\sum_{n=f}^\infty a_{n} g^{n} , \ \ \ \ \ a_{n} \in {\{ 0,1,...,g - 1}\}.$$В случае когда $g=p$, $p$ – простое число, получаем поле $p$-адических чисел $\mathbb{Q}_p$. В случае составного числа $g$ кольцо $\mathbb{Q}_g$ представляет собой коммутативное кольцо с единицей и с делителями нуля.

Если $g= {p_1}^{k_1} …{p_s}^{k_s }$, где $k_1,\ldots,\ k_s$ – натуральные числа, $p_1,\ldots p_s$ – простые числа, то кольцо $\mathbb{Q}_g$ является прямой суммой полей $\mathbb{Q}_{p_1\ },\ldots,\ \mathbb{Q}_{p_s\ }$.

Изучению свойств $p$-адических чисел посвящено намного больше работ. Подробное описание свойств g-адических чисел содержится в книге К. Малера (Mahler. 1981).

$g$-адические числа используются в алгебраических задачах. Рассматриваются модули над кольцами $\mathbb{Q}_g$ (Фомин. 2013). Можно отметить связь $p$-адических и $g$-адических чисел с фракталами.