Фу́нкция сравне́ния, функция, применяемая при исследовании характера роста модуля целой функции $a(z)$ при $z \rightarrow \infty$; при этом обычно сравнивают поведение $|a(z)|$ с поведением некоторой в том или ином смысле «хорошей» целой функции $A(z)$. В связи с этим естественным образом возникает задача об описании достаточно обширного множества целых функций $\mathfrak{A}=\{A(z)\}$, элементы которого успешно выполняли бы роль «эталонов сравнения».

Целая функция $A(z)=\sum_{k=0}^{\infty} A_k z^k$ называется функцией сравнения или $A(z) \in \mathfrak{A}$, если: 1) $A_k>0(k=0,1, 2, \ldots)$, 2) $\frac{A_{k+1}}{A_k} \searrow 0$ при $k \rightarrow \infty$. Целая функция $a(z)$ называется $A$-сравнимой, если существует такая постоянная $\tau$, $\tau>0$, что
$$\tag{1} a(z)=O(A(\tau|z|)) \text { при } z \longrightarrow \infty .$$Нижняя грань $\sigma$ чисел $\{\tau\}$, для которых выполняется соотношение $(1)$, называется $A$-типом $A$-сравнимой целой функции $a(z)$. Имеет место теорема об $A$-типе: если целая функция $a(z)=\sum_{k=0}^{\infty} a_{k} z^k$ сравнима с $A(z)$, $A(z) \in \mathfrak{A}$, то её $A$-тип $\sigma$ вычисляется по формуле
$$\tag{2} \sigma=\lim _{k \rightarrow \infty} \sup \left|\frac{a_k}{A_k}\right|^{1 / k} .$$Выделенный класс $\mathfrak{A}$ функций сравнения в известном смысле полностью решает поставленную задачу, ибо какова бы ни была целая функция $a(z)$, отличная от полинома, существует функция сравнений $A(z)$, $A(z) \in \mathfrak{A}$, такая, что $a(z)$ сравнима с $A(z)$ и её $A$-тип равен $1$.

Если целая функция $a(z)=\sum_{k=0}^{\infty} a_k z^k$ сравнима с $A(z)$, $A(z) \in \mathfrak{A}$, и её $A$-тип равен $\sigma$, то функция

$$\gamma_A(t)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{a_k / A_k}{t^{k+1}}$$аналитическая, согласно $(2)$, при $|t|>\sigma$, называется $A$-ассоциированной с $a(z)$. В этом случае для $a(z)$ имеет место обобщённое представление Бореля:
$$\tag{3} a(z)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{|t|=\sigma+\varepsilon} A(z t) \gamma_A(t) d t \quad(\forall \varepsilon, \varepsilon>0) .$$Если в качестве функции сравнения в $(3)$ фигурирует $A(z) \equiv e^z$, то $(3)$ является классическим интегральным представлением Бореля целых функций экспоненциального типа $\sigma$.

Если же в $(3)$ имеет место $A(z) \equiv E_\rho(z)$, где $E_\rho(z)=\sum_{k=0}^{\infty} z^{k / \Gamma}(1+k / \rho)$ $(\rho>0)$ есть функция Миттаг-Леффлера, то $(3)$ – интегральное представление для любой целой функции $a(z)$ порядка $\rho$ типа $\sigma^{1 / \rho}$ ($\sigma^{1 / \rho}$ – тип $a(z)$ в классическом смысле).

Для некоторых частных случаев $A(z)$ построено преобразование, обратное $(3)$ (Boas, Buck. 1958, где имеется библиография, относящаяся к функции сравнения). Функция и $A$-представление Бореля $(3)$ находят применение в различных вопросах анализа (Джрбашян. 1966, Казьмин. 1973). Если $[A ; \infty)$ – класс целых функций, сравнимых с данной функцией сравнения $A(z)$, то, какова бы ни была последовательность функций сравнения $\left\{A_n\right\}_{n=0}^{\infty}$, всегда существует целая функция $a(z)$ такая, что $a(z) \notin \cup_{n=0}^{\infty}\left[A_n ; \infty\right)$.