Двойно́й ряд, ряд

$$\tag{1} \sum _{m,n=1}^\infty u_{mn},$$члены $u_{mn}$, $m,n=1,2\ldots$ которого образуют двойную числовую последовательность. Конечные суммы

$$S_{mn}=\sum _{i=1}^{m} \sum _{j=1}^{n}u_{ij}$$называются частичными суммами двойного ряда (1), или прямоугольными частичными суммами. Они также образуют двойную последовательность. Если у этой последовательности $\{S_{mn}\}$ существует конечный двойной предел

$$\tag{2} S=\lim\limits _{m,n\rightarrow \infty }S_{mn},$$то ряд (1) называется сходящимся, а число $S$ – его суммой:

$$S=\sum _{m,n=1}^\infty u_{mn}.$$Если конечного предела (2) не существует, то ряд (1) называется расходящимся. На двойные ряды переносятся многие свойства обычных (однократных) рядов. Например, если двойные ряды

$$\sum _{m,n=1}^\infty a_{mn},\ \text{и}\ \sum _{m,n=1}^\infty b_{mn}$$сходятся, то при любых числах $\lambda$ и $\mu$ двойной ряд

$$\sum _{m,n=1}^\infty (\lambda a_{mn}+\mu b_{mn})$$также сходится и

$$\sum _{m,n=1}^\infty (\lambda a_{mn}+\mu b_{mn}) =\lambda \sum _{m,n=1}^\infty a_{mn}+\mu \sum _{m,n=1}^\infty b_{mn}.$$Если двойной ряд сходится, то

$$\lim\limits _{m,n\rightarrow \infty }u_{mn}=0$$[необходимое условие сходимости ряда (1)]. Для того чтобы двойной ряд (1) сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого $\varepsilon >0$ существовало такое число $N_\varepsilon$, что

$$|S_{m+k,n+l}-S_{mn}|<\varepsilon,$$если только $m>N_\varepsilon$, $n>N_\varepsilon$, а $k$ и $l$ – любые неотрицательные целые. Если все члены ряда (1) неотрицательны, то последовательность его частичных сумм $S_{mn}$ имеет конечный или бесконечный предел, причём

$$\lim\limits _{m,n\rightarrow \infty }S_{mn}=\ \sup _{m,n=1,2,\ldots }S_{mn}.$$Двойной ряд обладает свойствами, обусловленными наличием у его членов двух индексов, которые являются специфической особенностью двойных рядов. Если сходится двойной ряд (1) и для всех $n=1,2\ldots$ сходятся ряды

$$\sum _{m=1}^\infty u_{mn},$$то повторный ряд

$$\sum _{n=1}^\infty \Bigl(\sum _{m=1}^\infty u_{mn}\Bigr )$$также сходится и его сумма равна сумме данного ряда.

Двойной ряд называется абсолютно сходящимся, если

сходится ряд

$$\sum _{m,n=1}^\infty |u_{mn}|.$$Если двойной ряд абсолютно сходится, то он и просто сходится; более того, сходится любой ряд, полученный перестановкой членов данного двойного ряда. При этом сумма любого такого ряда совпадает с суммой исходного ряда.

На двойные ряды, члены которых являются функциями, переносятся многие понятия и свойства, присущие обычным функциональным рядам, например понятие равномерной сходимости, критерий Коши равномерной сходимости ряда, признак Вейерштрасса равномерной сходимости. Вместе с тем далеко не все теоремы об однократных рядах непосредственно переносятся на двойные ряды. Так, прямой аналог теоремы Абеля для степенных рядов

$$\sum _{n=0}^\infty a_{n}x^{n}$$не справедлив для двойных степенных рядов, т. е. рядов вида

$$\tag{3}\sum _{m,n=0}^\infty c_{mn}x^{m}y^{n}.$$Существуют, например, двойные ряды (3), которые сходятся только в двух точках плоскости: ряд (3) с коэффициентами

$$\begin{gathered}c_{0n}=c_{n0}=-c_{1n}=-c_{n1}=n!,\\ n=1,2\ldots,\quad c_{mn}=0,\ m\geqslant 2,n\geqslant 2, \end{gathered}$$сходится только в двух точках $(0,0)$ и $(1,1)$.

Кроме определения (2) для двойных рядов (1) существуют другие определения его сходимости и суммы, связанные также с наличием у его членов двух индексов. Например, пусть

$$S_{p}=\sum _{m+n\leqslant p}u_{mn},\quad p=1,2,\ldots$$[($S_{p}$ называется треугольной частичной суммой двойного ряда (1)]; двойной ряд (1) называется сходящимся, если последовательность $\{S_{p}\}$ сходится; её предел

$$S=\lim\limits _{p\rightarrow \infty }S_{p},$$называется треугольной суммой ряда (1).

Если положить

$$S_{r}=\sum _{m^{2}+n^{2}\leqslant r^{2}} u_{mn},\quad r>0$$($S_{r}$ называется круговой частичной суммой), то двойной ряд (1) называется сходящимся; когда функция $S_{r}$ параметра $r$ имеет предел при $r\rightarrow +\infty$ , этот предел

$$S=\lim\limits _{r\rightarrow +\infty }S_{r}$$называется круговой суммой ряда (1).

Если через ${\mathfrak N}$ обозначить произвольное конечное множество пар индексов $(m,n)$ и положить

$$S_{\mathfrak N}=\sum _{(m,n)\in {\mathfrak N}}u_{mn},$$то число $S$ называется суммой ряда (1), если для любого $\varepsilon >0$ существует такое конечное множество ${\mathfrak N}_\varepsilon$ пар индексов $(m,n)$, что для любого ${\mathfrak N}\supset {\mathfrak N}_\varepsilon$ выполняется неравенство $|S-S_{\mathfrak N}|<\varepsilon$. Если такое число $S$ существует, то ряд (1) называется сходящимся.

Все эти определения сходимости двойного ряда (1) не эквивалентны между собой. Однако если члены двойного ряда неотрицательны, то из сходимости в одном из указанных смыслов следует сходимость во всех остальных, причём все значения сумм двойного ряда (1) в этом случае совпадают. Имеются и другие определения сходимости двойных рядов. Для двойных рядов существуют различные методы суммирования.

Понятие двойного ряда обобщается на случай, когда его члены являются не числами, а, например, элементами линейного нормированного пространства.